Tener problemas para ver la similitud entre estos dos tensores de energía-momento

Tenga en cuenta que el tensor de tensión-energía está descrito por los campos de materia y energía. Cada modelo de materia o campo tendrá diferentes expresiones para este tensor

el primero es para un campo escalar$\phi$bajo lo habitual$E^2 - c^2 P^2 = m^2 c^4$identidad relativista definida por la ecuación de Klein-Gordon, la segunda es algo completamente diferente, es el tensor de energía para un fluido perfecto de densidad$\rho$y presión media$P$(no estoy seguro de las unidades)

Pero creo que quiere saber bajo qué supuestos el campo escalar de klein-gordon se aproximará mediante una ecuación fluida perfecta. ¿Puedes publicar un enlace a las conferencias para que podamos tener un poco más de contexto?

De hecho, asistí a una conferencia recientemente sobre un problema similar a este, aunque el tensor de energía de estrés que nos dieron era ligeramente diferente (posiblemente debido a la generalización al espacio-tiempo curvo con métrica).$g_{\mu \nu}$). Teníamos eso:

$$T_{\mu \nu}=\partial_{\mu} \phi \partial_{\nu} \phi - \mathcal{L} g_{\mu \nu}$$ El Lagrangiano utilizado es el de GR (En unidades donde $c=1$y una métrica de firma negativa $(+--- )$se usa) $$\mathcal{L} = R +\frac{1}{2}g^{\mu \nu}\partial_{\mu} \phi \partial_{\nu} \phi -V(\phi)$$ Conocida como la densidad lagrangiana mínimamente acoplada ya que no hay términos cruzados entre R y $\phi$( $R \phi$etcétera). Sustituyendo esto en rendimientos $$T_{\mu \nu}=\partial_{\mu} \phi \partial_{\nu} \phi - (R +\frac{1}{2}g^{\alpha \beta}\partial_{\alpha} \phi \partial_{\beta} \phi -V(\phi)) g_{\mu \nu}$$ Entonces podemos definir las cuatro velocidades normalizadas como $$u_{\mu} = \frac{\partial_{\mu}\phi}{\sqrt{g^{\alpha \beta} \partial_{\alpha}\phi \partial_{\beta}\phi}}$$ De modo que $u_{\mu}u^{\mu} = 1$.

Luego definimos una derivada del tiempo como el componente del campo punteado con las cuatro velocidades:

$$\dot\phi=u^{\mu} \nabla_{\mu}\phi = u^{\mu} \partial_{\mu}\phi$$ En ese punto, normalmente se deja al lector verificar que la energía de tensión se convierte, con esta definición $$T_{\mu \nu} = \left(\frac{1}{2} (\dot\phi)^2 + V(\phi) \right)u_{\mu}u_{\nu} +\left(\frac{1}{2} (\dot\phi)^2 - V(\phi) \right) \left(u_{\mu}u_{\nu} - g_{\mu \nu} \right)$$ Identificando: $$\begin{eqnarray*} \rho &=& \left(\frac{1}{2} (\dot\phi)^2 + V(\phi) \right) \\ P &=& \left(\frac{1}{2} (\dot\phi)^2 - V(\phi) \right) \end{eqnarray*}$$ produce el tensor $$T_{\mu \nu} = \rho u_{\mu}u_{\nu} + P \left(u_{\mu}u_{\nu} - g_{\mu \nu} \right)= (\rho +P) u_{\mu}u_{\nu} - P g_{\mu \nu}$$ No estoy seguro de cuánto es relevante, pero esta es la derivación que me presentaron sobre fluidos perfectos y el campo escalar.

0. Advertencia Lector: Esto se hizo antes de tomar mi café de la mañana, por lo que puede haber algunos errores en el razonamiento (bueno, el razonamiento físico, las matemáticas deberían ser kosher).

1. Fluido perfecto. Así que aquí tenemos dos tensores de tensión-energía. Uno es el tensor de energía de tensión para un fluido perfecto.

$$\tag{1}T^{\alpha\beta}_{\text{fluid}} = \rho \, u^\alpha \, u^\beta + p \, h^{\alpha\beta}$$ donde tenemos

1. las líneas de mundo de las partículas del fluido tienen velocidad$u^\alpha$
2. el tensor de proyección $h_{\alpha\beta} = g_{\alpha\beta} + u_\alpha \, u_\beta$proyecta otros tensores sobre elementos hiperplanos ortogonales a$u^\alpha$
3. la densidad de la materia viene dada por la función escalar$\rho$,
4. la presión viene dada por la función escalar$p$.

Necesitaríamos términos adicionales si hubiera flujo de calor o corte involucrados.

2. Campo escalar. Ahora, tenemos otro tensor de energía de tensión distinto para un campo escalar sin masa:

$$\tag{2}T^{\mu \nu}_{\text{scalar}} =\partial^{\mu}\phi\, \partial^{\nu}\phi-\frac{1}{2}g^{\mu \nu}\partial_{\rho}\phi\,\partial^{\rho}\phi$$ Usaríamos esta ecuación al modelar, por ejemplo, piones sin masa (o algún otro campo de espín-0 sin masa).

3. Problema: ¿Están estos dos relacionados?

Ahora bien, si consideramos que la densidad de nuestra materia es, en las unidades apropiadas,

$$\tag{3a} \rho = 1 + \frac{1}{2}\partial_{\rho}\phi\,\partial^{\rho}\phi$$ y la presion $$\tag{3b} p = \frac{-1}{2}\partial_{\rho}\phi\,\partial^{\rho}\phi$$ entonces (2) se parece a (1). Esto es después de fingir $\partial^{\mu}\phi=u^{\mu}$, que aterroriza al cartel original (pero eso es lo que hacen los físicos de la materia condensada, así que supongo que podría terminar aquí el contenido).

¿Esto es kosher?

Primero debemos notar si queremos tomar la derivada de alguna función a lo largo de la línea de tiempo$x^{\mu}(s)$con respecto al "tiempo propio" (duración)$s$tenemos

$$\tag{4} \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}s}=\frac{\mathrm{d}x^{\mu}}{\mathrm{d}s}\frac{\partial f}{\partial x^{\mu}}$$ por la regla de la cadena. Para la relatividad general, usamos la regla de "la coma va al punto y coma", pero para una cantidad escalar $f$tenemos $$\nabla_{\mu}f = \partial_{\mu}f.$$ (Si esto no es obvio, el lector debe considerar como un ejercicio probarlo por sí mismo). $\partial^{\mu}\phi=u^{\mu}$es kosher. ¿Cómo?

Observa en la Ecuación (4) al chico de enfrente, el$\mathrm{d}x^{\mu}/\mathrm{d}s$es solo un vector. Entonces, en el caso muy, muy especial de que las ecuaciones (3a) y (3b) se cumplan, y$\mathrm{d}x^{\mu}/\mathrm{d}s=(1,0,0,0)$, vemos que podemos recuperar el primer tensor de tensión-energía como un caso especial del tensor de tensión-energía del campo escalar.