Hay varias formas en que puedo interpretar la pregunta, por lo que mi enfoque principal será la autocorrelación de un proceso de Ornstein-Uhlenbeck (OU). Entonces, ¿qué es un proceso OU y en qué se diferencia de la difusión browniana normal?

difusión browniana

La ecuación diferencial estocástica (SDE) para la difusión browniana de una partícula se puede escribir como

$$\mathrm{d}x_t = \mathrm{d}W_t$$ dónde $x$es desplazamiento y $\mathrm{d}W$un proceso estocástico tal que integramos ambos lados, $x_T - x_0 = \int_0^T\mathrm{d}W_t = \mathcal{N}(0, T)$, la distribución gaussiana con media $0$y varianza $T$. Un poco más de notación física sería $$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = \eta$$ dónde $\eta$es una variable aleatoria gaussiana.

Así que puedes ver en tu mente que mientras agregas estos pequeños desplazamientos aleatorios en direcciones aleatorias, terminarás con la difusión. Otra forma de describir la difusión, y más común entre los físicos, es una ecuación diferencial parcial (la ecuación de Fokker-Planck), en la que escribes la distribución de probabilidad de la partícula en función del tiempo y la posición. Otra forma más de escribir esto es como una integral de trayectoria de Wiener (la transformación entre estas representaciones pasa por la ecuación de Feynman-Kac).

Procesos de Ornstein-Uhlenbeck

Finalmente, pasando a la ecuación de OU:

$$\mathrm{d}x_t = -x_t\mathrm{d}t + \mathrm{d}W_t$$ o si lo prefieres $$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = -x + \eta$$ ¿Cómo cambia el nuevo término el comportamiento? En lugar de difundir hasta el infinito, estás restringiendo la partícula con una fuerza lineal. En otras palabras, tiene una partícula en un potencial armónico y algo de ruido se agrega a la posición. La solución está a solo un cambio de variables de distancia: $x_t = e^{-t}y_t$, entonces por el lema de Ito tenemos: $$e^{-t}\mathrm{d}y_t - e^{-t}y_t\mathrm{d}t = \mathrm{d}x_t = -e^{-t}y_t\mathrm{d}t + \mathrm{d}W_t$$ asi que $$y_T-y_0 = \int_0^Te^s\mathrm{d}W_s$$ eso es $$x_T = x_0e^{-T} + \int_0^Te^{(s-T)}\mathrm{d}W_s = \mathcal{N}\left(x_0e^{-T}, \frac{1}{2}(1-e^{-2T})\right)$$ donde el último paso sigue de sustituir a la definición de valor esperado y varianza.

Entonces ¿Qué vemos? Vemos que nuestra observación$x_T$en el momento$T$Depende de dónde vimos por última vez.$x$. Pero que esta dependencia (autocorrelación) se extingue exponencialmente. De hecho, después de una cantidad infinita de tiempo, tenemos$x_T = \mathcal{N}(0,1)$. Tenga en cuenta que no obtuvimos$x_T = \mathcal{N}(0,T)$, sino que nuestra Gaussiana está restringida en tamaño y llegará a tener ese tamaño a una velocidad exponencial (a medida que el efecto de la última observación desaparece).

ruido johnson

Ok, entonces tienes una resistencia en serie con un inductor sobre algún voltaje y escribes

$$L\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t} = -RI + V$$ ¿Parecer familiar? Supongamos que el voltaje es casi cero, pero como los portadores de carga se difunden, este voltaje es en realidad estocástico. Eso es un proceso de OU. Ahora, suponga que mide la corriente en el tiempo 0, y luego nuevamente en el tiempo $T$. ¿En qué sentido son éstos gaussianos e independientes? Como se discutió en la sección anterior, si espera lo suficiente, cada medición será independiente entre sí y ambas muestrearán la misma distribución finita (a diferencia de la distribución infinita que vimos en la difusión). Esta Gaussianidad y su autocorrelación es lo que creo que buscabas. Finalmente, pasemos a algo que no creo que hayas buscado, pero que, sin embargo, puede parecerte interesante.

Ruido microscópico de los portadores de carga

Ahora, ¿por qué debería$V$ser estocástico y por qué debería ser gaussiano? Esta es una discusión más larga y solo voy a repasarla muy cualitativamente y brevemente. Supongamos que tenemos un sistema simple: una partícula en un potencial y una gran cantidad de osciladores armónicos (sugerentemente llamados "el baño de calor") acoplados a ella, de modo que podamos escribir el hamiltoniano (un poco simplificado del modelo de Caldeira Leggett) como

$$\mathcal{H} = \frac{p^2}{2m} + V(q) + \sum_i \left(\frac{p_i^2}{2m_i} + \frac{1}{2}m_i\omega_i^2x_i^2\right) + q\sum_ix_i$$

Resulta que esto en realidad se puede convertir en una ecuación de Langevin generalizada de la forma

$$\frac{\mathrm{d}^2q}{\mathrm{d}t^2} = -\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}q}-\int_0^T\mathrm{d}t\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}\xi(T-t) + R(t)$$ donde esta el kernel de memoria $\xi(T-t)$y la "fuerza aleatoria" $R(t)$son ambas algunas funciones de la materia en el hamiltoniano. Lo notable es que la fuerza aleatoria, aunque determinista, se comporta exactamente como si fuera una fuerza térmica gaussiana "real" (teorema de disipación de fluctuación, su correlación con las otras cantidades, etc.). Entonces, solo diremos que es aleatorio y de esta manera integramos algunos grados de libertad que no nos importan.

Esto se puede hacer de manera más rigurosa para sistemas básicamente arbitrarios que describen alguna evolución del espacio de fase mediante el uso de la teoría de Mori-Zwanzig. Allí se toma un operador de proyección, que se proyecta sobre el subespacio que contiene los grados de libertad de interés, y los demás grados de libertad se comportan como un baño termal. Muchos libros hacen que esto sea algo muy complicado, pero en realidad es solo álgebra matricial (o realmente operador).

El punto es que si tiene un sistema y tiene un conocimiento perfecto de todo el espacio de fase, si omite algunos detalles, esos detalles actuarán en muchos sentidos como si hubiera un baño termal gaussiano empujando el sistema.