Deriva del proceso estocástico del valor inicial conocido de la densidad espectral conocida

Question

Deriva del proceso estocástico del valor inicial conocido de la densidad espectral conocida

ruido
Física
procesos estocásticos

DanielSank

Considere un proceso $\phi$ con densidad espectral conocida $S_\phi(\omega)$ . Supongamos que en el momento $t=0$ el proceso toma un valor conocido $\phi(0)$ . ¿Cómo se calcula la varianza dependiente del tiempo referenciada a este valor inicial? En otras palabras, ¿cómo se calcula $\langle (\phi(0) - \phi(\tau))^2 \rangle$ para $\tau > 0$ ?

Si la respuesta depende de algo más que la densidad espectral, indique las suposiciones adicionales necesarias para definir bien el problema.

Esta pregunta está motivada por tratar de comprender cuánto se desviará la fase de un oscilador de microondas durante un período de tiempo determinado, por lo que creo que debemos suponer que el proceso no es estacionario, es decir, la fase puede desviarse arbitrariamente lejos de un valor inicial Conforme pasé él tiempo. La verdadera pregunta subyacente aquí es cómo se pasa de la Figura 10 en esta hoja de datos , que da la densidad espectral del ruido de fase, a la deriva dependiente del tiempo de la fase del oscilador.

Respuestas (1)

Deriva del proceso estocástico del valor inicial conocido de la densidad espectral conocida

DanielSank · Answer 1

Nota sobre convenciones: En esta respuesta, el símbolo $S(\omega)$ se refiere a una densidad espectral unilateral. En otras palabras, $\int_0^\infty S(\omega) d\omega/(2\pi)$ es la potencia total en el proceso.

Es más fácil trabajar en términos de la densidad espectral de $\dot{\phi}$ , que denotamos $S_\dot{\phi}(\omega)$ . Tenga en cuenta que $S_\dot{\phi}(\omega) = \omega^2 S_\phi(\omega)$ . Podemos escribir una realización particular del proceso $\phi$ como

ϕ (τ) = \int_{0}^{τ} \dot{ϕ} (t) d t,

$\phi(\tau) = \int_0^\tau \dot{\phi}(t) \, dt \, ,$ por lo que entonces

⟨ ϕ (τ)^{2} ⟩ = \int_{0}^{τ} \int_{0}^{τ} ⟨ \dot{ϕ} (t^{'}) \dot{ϕ} (t^{″}) ⟩ d t^{'} d t^{″} .

$\langle \phi(\tau)^2 \rangle = \int_0^\tau \int_0^\tau \left \langle \dot{\phi}(t') \dot{\phi}(t'') \right \rangle \, dt' dt'' \, .$ Usando el teorema de Wiener-Khinchin podemos reemplazar

⟨ \dot{ϕ} (t^{'}) \dot{ϕ} (t^{″}) ⟩ = \int_{0}^{\infty} S_{\dot{ϕ}} (ω) porque (ω (t^{'} - t^{″})) \frac{d ω}{2 π},

$\left \langle \dot{\phi}(t') \dot{\phi}(t'') \right \rangle = \int_0^\infty S_\dot{\phi}(\omega) \cos \left(\omega \left( t' - t'' \right) \right) \frac{d\omega}{2\pi} \, ,$ donación

\begin{aligned} ⟨ ϕ (τ)^{2} ⟩ & = \int_{0}^{\infty} S_{\dot{ϕ}} (ω) \frac{d ω}{2 π} \int_{0}^{τ} \int_{0}^{τ} porque (ω (t^{'} - t^{″})) d t^{'} d t^{″} \\ = τ^{2} \int_{0}^{\infty} S_{\dot{ϕ}} (ω) {(\frac{pecado (ω τ / 2)}{(ω τ / 2)})}^{2} \frac{d ω}{2 π} \end{aligned}

$\begin{align} \left \langle \phi(\tau)^2 \right \rangle &=\int_0^\infty S_\dot{\phi}(\omega) \frac{d\omega}{2\pi} \int_0^\tau \int_0^\tau \cos \left( \omega \left( t' - t'' \right) \right) \, dt' dt'' \\ &= \tau^2 \int_0^\infty S_\dot{\phi}(\omega) \left( \frac{\sin \left( \omega \tau / 2 \right)}{\left( \omega \tau / 2 \right)} \right)^2 \frac{d \omega}{2\pi} \end{align}$ que es lo que queríamos encontrar si asumimos

ϕ (0) = 0

$\phi(0)=0$ .

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DanielSank

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