Coeficiente de difusión para paseo aleatorio asimétrico (sesgado)

PREFACIO

Después de varias ediciones, esta respuesta proporciona una explicación ingenua de por qué falló su enfoque, cómo solucionarlo (ingenuo) y un enfoque completamente diferente (pero correcto) para resolver el problema.

Introducción

Tienes razón: el coeficiente de difusión debería ser$D=4pqD_0$,$D_0$siendo el "normal" (ver más abajo para las derivaciones).

No sé con precisión por qué su enfoque no funciona, pero hay una fuerte evidencia de que algo debe estar mal, lo que creo que depende del proceso estocástico involucrado: si define${\Delta x\over \Delta t}=v$y es finito, entonces "tu"$D={\Delta x^2 \over 2\Delta t}={\Delta x\over 2} v$se está desvaneciendo en lo pequeño$\Delta x$límite.

El hecho es que en el LHS tienes una derivada temporal ($O(\Delta t)$) mientras que en el RHS tienes un segundo$x$-derivado ($O(\Delta x^2)$).

Ahora bien, dado que la relación$v={\Delta x\over \Delta t}$es finito, significa que$O(\Delta x^2)=O(\Delta t^2)$por lo que los dos lados de la ecuación no coinciden. Con el movimiento browniano normal, tendrías$\Delta x\sim \sqrt{\Delta t}$Asique no hay problema.

Básicamente, la deriva inducida por el sesgo estropea las cosas...

Me decepciona ver que tantos libros y artículos cometen este error y usan$D_0$también para paseos aleatorios sesgados... (solo tiene sentido cuando el sesgo es externo y la difusión es la "normal", mientras que en este caso es el mismo proceso...)

Ahora les propongo dos soluciones: la primera es un enfoque Fokker-Planck. El segundo es uno de Langevin.

Estoy seguro de que los resultados son correctos (simulaciones + artículos + libros lo prueban) pero no estoy seguro de los pasos (ya que principalmente los hice yo mismo). Es difícil encontrar un tratamiento teórico de este asunto.

Enfoque de Fokker-Planck

El problema al que nos enfrentamos aquí es deriva+difusión: la partícula se desplaza (debido al sesgo) pero también oscila alrededor de su valor medio (como la difusión normal oscilaría alrededor de$0$).

Definimos la velocidad de deriva$v={\Delta x\over \Delta t}$. Si solo tuviéramos deriva, la FP sería:

$$\partial_t P_d(x, t)=-v\partial_x P_d$$

En cambio, si tuviéramos solo difusión:

$$\partial_t P_D(x, t)=D\partial^2_x P_D$$

Problema: ¿Qué D elijo? En general$D\sim \Delta x^2$pero en nuestro caso "una fracción"$(p-q)\Delta x$del desplazamiento original se ha convertido en deriva, por lo que volvemos a normalizar eliminando esta parte (esto es equivalente a considerar solo la varianza del desplazamiento en lugar de su valor medio al cuadrado, que de nuevo, en difusión normal son idénticos así que...):

$$D={1\over 2\Delta t}\left(\Delta x^2 - (p-q)^2\Delta x^2\right) = 4pq{\Delta x^2\over 2\Delta t}$$ (Solía $p+q=1\rightarrow p^2+q^2=1-2pq$).

Como ves encontramos el$D$Predije, pero esto ha sido una especie de acto de fe para mí, aunque veo que el coeficiente de difusión a veces se define como${var(\Delta x)\over 2\Delta t}={\langle \Delta x^2\rangle - \langle \Delta x\rangle ^2)\over 2\Delta t}$en lugar de simplemente${\langle\Delta x^2\rangle\over 2\Delta t}$. Nunca me di cuenta de eso porque en la difusión normal no hay diferencia ya que la media es nula.

De todos modos, los dos procesos por sí mismos están perfectamente definidos.

Ahora tenemos que unir deriva y difusión. Dado que los dos procesos ocurren al mismo tiempo, la probabilidad final$P(x, t)$se puede encontrar como:

$$P(x, t)=\int P_D(x-y)P_d(y)dy$$ (que significa: probabilidad de viajar $x-y$por tiempos de difusión probabilidad de viajar $y$por deriva, integrado sobre $y$). Nuevamente, esto es un acto de fe y también lo es la prueba (que creo que logré encontrar, pero no estaría seguro: uno solo tiene que tomar la derivada temporal de esas cosas y jugar con las integrales y derivadas un poco...) que esto lleva a:

$$\partial_t P= -v\partial_x P +{D}\partial^2_x P$$ que es el Fokker-Planck que estamos buscando, con $D=4pqD_0$.

enfoque de Langevin

Una de las fuentes que citó en un comentario ya muestra lo siguiente, pero lo estoy haciendo de una manera más física.

No estoy seguro de que pueda ayudar, pero te propongo un enfoque similar (más parecido a Langevin) que lleva a los dos primeros momentos de la posición.$x$ya una definición evidente del coeficiente de difusión.

Soy positivo acerca de este resultado.

Supongamos un proceso discreto de$N={t\over \Delta t}$pasos, allí$t$es el tiempo total. En cada paso, las partículas se desplazan por$\Delta$con probabilidad$p$a la derecha y$q=1-p$A la izquierda.

Así en cada paso:

$$x(t+\Delta t)=x(t)+\eta_{\Delta t}$$

dónde$\eta_{\Delta t}$es un proceso que da$\Delta$con probabilidad$p$y$-\Delta$con probabilidad$q$, tal que$\langle \eta_{\Delta t }\rangle = (p-q)\Delta$y$\eta_{\Delta t}^2=\Delta^2$. Note que esto define$\eta_{\Delta t}$solo cada uno$\Delta t$segundos. No sabemos qué sucede a otras escalas.

Así que tenemos, después$\Delta t$:

$$dx=x(t+\Delta t)-x(t)=\eta_{\Delta t}$$ y por tanto su valor medio es:

$$\langle dx \rangle=\langle \eta_{\Delta t} \rangle=(p-q)\Delta$$ de modo que $$\langle x(t)-x(0) \rangle=\langle \sum^N_{i=1} x(i\Delta t)-x((i-1)\Delta t)\rangle=\sum_{i=1}^N \langle dx\rangle=N(p-q)\Delta=(p-q){\Delta \over \Delta t}t$$

si ponemos$v={\Delta \over \Delta t}$este es tu mismo resultado y tiene sentido. Tenga en cuenta que tuvimos que dividir$x(t)-x(0)$en$\Delta t$-intervalo de tamaño ya que no sabemos lo que sucede en otras escalas.

Las cosas son más difíciles para el segundo momento:

$$\langle (x(t)-x(0))^2 \rangle=\langle\left(\sum^N_{i=1} x(i\Delta t)-x((i-1)\Delta t)\right)^2\rangle=\langle\left(\sum^N_{i=1} dx\right)^2$$

y ese es el cuadrado de una suma, entonces:

$$\langle\left(\sum^N_{i=1} dx\right)^2\rangle=\sum^N_{i=1}\langle dx^2\rangle + 2\sum^N_{i<j}\langle dx\rangle_i\langle dx\rangle_j$$

ahora, usando los momentos de$dx$lo cual sabemos, siendo que todos los momentos son iguales:

$$\langle (x(t)-x(0))^2 \rangle=N\langle dx^2\rangle+N(N-1)\langle dx \rangle ^2$$ es decir

$$\langle (x(t)-x(0))^2 \rangle = \Delta^2 N(1+(N-1)(p-q)^2)$$

que se puede modificar en (usando$p+q=1\rightarrow p^2+q^2=1-2pq$):

$$\langle (x(t)-x(0))^2 \rangle = \Delta^2{t\over \Delta t} \left((1-4pq){t\over \Delta t}+4pq)\right)$$

Ahora si$p=q=1/2$usted obtiene

$$\langle (x(t)-x(0))^2 \rangle = \Delta^2{t\over \Delta t} = 2Dt$$ con $D={\Delta^2\over 2\Delta t}$que es la difusión normal, como se esperaba.

si en cambio$p=1$y$q=0$(o viceversa)

$$\langle (x(t)-x(0))^2 \rangle = \Delta^2\left({t\over \Delta t}\right)^2 = (vt)^2$$

que de nuevo es seguramente correcto.

Todos los casos intermedios son raros. Tenga en cuenta, además, que en todos los demás casos, si deja$\Delta t, \Delta x\rightarrow 0$suceden cosas extrañas.

Supongo que esta es la razón por la que el Fokker-Planck no sale bien, excepto en casos simples. Debe haber algún truco de "procesos estocásticos" que ahora conozco.

Pero al menos puedes reescribir:

$$\langle (x(t)-x(0))^2 \rangle = \Delta^2\left({t\over \Delta t}\right)^2 (1-4pq)+4pq\Delta^2{t\over \Delta t} = (vt)^2(1-4pq)+2D_{eff}t$$ con $D_{eff}=4pq{\Delta^2\over2\Delta t}$.

Este proceso es un proceso de deriva+difusión: la partícula se desplaza con velocidad$(p-q)vt$(que es el valor medio de la posición) y alrededor de dicho valor oscila. En cada momento se puede calcular la varianza:

$$\sigma^2=\langle (x(t)-x(0))^2 \rangle -\langle (x(t)-x(0)) \rangle ^2$$ que resulta ser

$$\sigma^2(t) = 2D_{eff}t = 8pqD_0t$$ dónde $D_0={\Delta^2 \over 2\Delta t}$es el coeficiente de difusión normal.

Así que supongo que el proceso estará representado por una distribución gaussiana (siempre que comencemos con$P(x, 0)=\delta(x-x_0)$con media$x0+(p-q)vt$y varianza$\sigma^2(t)$. Entonces la distribución se mueve y se extiende.

Las simulaciones que he estado haciendo ahora están de acuerdo.

Conclusiones

No estoy seguro de haber encontrado el Fokker-Planck correcto (o de haberlo encontrado de la manera correcta), pero supongo que encontramos$P(x, t)$...! Esta P(x, t) tiene sentido y probablemente sea la correcta. Sin embargo, como las simulaciones siempre implican pasos discretos, no estoy seguro de lo que sucedería en el límite continuo... tal vez la validez de algunos pasos se desmorone.

Sin embargo, creo que podemos considerarnos satisfechos.

La ecuación que estás describiendo se conoce como la ecuación de Langevin y su correspondiente ecuación de Fokker-Plank. El principal problema con la ecuación de difusión es que$p$puede no ser 1 y$q$sea ​​0, pero se necesita una ecuación de enlace (como en el marco de Ito):

$$\Delta h = const \sqrt{\Delta t} \\ $$

para esto necesitas

$$p - q = \frac{\alpha}{\sigma} \sqrt{\Delta t} \\ $$

dónde$\alpha$es el término en la ecuación de Ito

$$dX = \alpha dt + \sigma dZ$$

Ahora según este diario

Las propiedades de difusión anómalas han sido ampliamente investigadas por varios enfoques para modelar diferentes tipos de distribuciones de probabilidad. La propiedad bien establecida de la difusión normal descrita por la distribución gaussiana se puede obtener mediante la ecuación de Fokker-Planck habitual con un coeficiente de difusión constante (sin la deriva término). Los regímenes de difusión anómalos también se pueden obtener mediante la ecuación habitual de Fokker-Planck, sin embargo, surgen del coeficiente de difusión variable que depende del tiempo y/o el espacio. Por otro lado, desde el punto de vista del enfoque de Langevin, está asociado con un término de ruido multiplicativo. En otros enfoques, como la ecuación de Fokker-Planck generalizada (no lineal) y las ecuaciones fraccionarias, pueden describir regímenes de difusión anómalos con un coeficiente de difusión constante. La ecuación de Langevin es una herramienta muy importante para describir sistemas fuera de equilibrio [3, 4]. Además, esta ecuación ha sido ampliamente investigada; también se han revelado muchas propiedades y soluciones analíticas de la misma. En este trabajo presentamos soluciones de una clase de la ecuación de Langevin con los términos de deriva determinista y ruido multiplicativo en tiempo y espacio. Para ello, obtenemos la ecuación de Fokker-Planck correspondiente en la definición de Stratonovich, y luego obtenemos sus soluciones para la función de distribución de probabilidad (PDF). presentamos soluciones de una clase de la ecuación de Langevin con la deriva determinista y los términos de ruido multiplicativo en el tiempo y el espacio. Para ello, obtenemos la ecuación de Fokker-Planck correspondiente en la definición de Stratonovich, y luego obtenemos sus soluciones para la función de distribución de probabilidad (PDF). presentamos soluciones de una clase de la ecuación de Langevin con la deriva determinista y los términos de ruido multiplicativo en el tiempo y el espacio. Para ello, obtenemos la ecuación de Fokker-Planck correspondiente en la definición de Stratonovich, y luego obtenemos sus soluciones para la función de distribución de probabilidad (PDF).

Ahora de acuerdo con la ecuación de Langevin

$$\xi = h (\xi, t) + g(\xi, t) \Gamma(t)\\ $$

dónde$\xi$es una variable estocástica y$\Gamma(t)$es la fuerza de Langevin. Para$g = \sqrt{D}$y$h(\xi, t) = 0$obtenemos describe el proceso de Wiener y la distribución de probabilidad correspondiente se describe mediante una función gaussiana. Al aplicar el enfoque de Stratonovich en un espacio unidimensional de la ecuación de Langevin, obtenemos la siguiente ecuación dinámica para la SDE (reescribiéndola en mejores notaciones):

$$\partial_t P(x,t) = -D_1 \partial_x P(x,t) + D_2 \partial_x^2 P(x,t)$$

donde usando el enfoque de Stratonovich

$$D_1(x,t) + \frac{\partial g(x,t)}{\partial x} g(x,t)$$

y

$$D_2 (x,t) = g^2 (x,t)$$

Es importante hacer la diferencia de concepto entre la difusión y el desplazamiento. Depende de usted decidir cómo debe comportarse su coeficiente de difusión y ver si puede imitar una situación física.

Tus ecuaciones pueden describir una realidad.

Considere un vaso de agua que se le cae desde un edificio del tercer piso. Si asume que no hay viento, sus moléculas de agua tarde o temprano caerán a la calle, pero su líquido se esparcirá por el espacio verticalmente por razones que no debemos preocuparnos pero que existen (en este caso, la fricción del aire). Lo más probable es que esté de acuerdo en que, en este escenario realista, encontrará moléculas en el líquido que tienen una velocidad menor que v, donde v es la velocidad promedio de todas las moléculas. Esto se debe a D, que en este caso describe la dispersión en momento/posición.

Podrías imaginar el mismo experimento con las moléculas individuales arrojadas una por una desde el balcón. Encontrará que, en promedio, su velocidad es v pero no todas las partículas llegan al mismo tiempo, y la dispersión estará dada por D, y D no será cero.