Proceso estocástico que genera difusión fraccionada

Una forma de generar movimiento browniano es la siguiente: Defina una distribución de probabilidad de tiempo de espera$\psi(t)$y distribución de probabilidad de longitud de paso$\lambda(x)$. Requiere también que$\langle \psi \rangle = \tau$,$\langle \lambda \rangle = 0$, y$\langle \lambda^2 \rangle = \sigma^2$. Es decir, la distribución del tiempo de espera tiene una media finita y la longitud del paso es simétrica alrededor de cero con varianza finita. Entonces, podemos generar una secuencia de pasos de tiempo$\delta t_i \sim \psi$, una secuencia de longitudes de paso$\delta x_i \sim \lambda$. Entonces podemos definir la trayectoria$x(\sum^N \delta t_i) = \sum^N \delta x_i$.

Si uno está simulando el proceso, las opciones convenientes incluyen$\psi(t) = \delta(t - \tau)$, y$\lambda(x) = \frac{1}{2}( \delta(x - \sigma ) + \delta(x + \sigma ))$. Es decir, a intervalos de tiempo regulares eliges si la partícula va hacia la izquierda o hacia la derecha, con la misma probabilidad. Hasta ahora, todo bien.

Ahora, por simplicidad, dejemos que la difusión anómala sea un proceso tal que$\langle \Delta x^2 (t) \rangle \propto t^\alpha$, para$0 < \alpha < 1$.

Para generar difusión anómala, debe ser que el tiempo medio de espera diverge$\langle \psi \rangle \to \infty$o que la variación de la longitud del paso diverge$\langle \lambda^2 \rangle \to \infty$o, supongo, posiblemente ambos. Conozco una manera de hacer esto: dejar$\langle \psi \rangle$tener una distribución de Pareto$\psi(t) = \frac{\alpha \tau^\alpha}{t^{1+\alpha}}$para$t > \tau$, por lo que tiene una media divergente. A continuación, podemos elegir cualquier$\lambda$con varianza finita, como la del párrafo anterior.

Mi pregunta es si es posible exigir que$\psi(t) = \delta(t - \tau)$y todavía obtener una difusión anómala. Obviamente$\lambda$necesitaría tener una varianza divergente, pero no tengo idea más allá de eso. Supongo$\lambda(x_i)$incluso podría depender de la historia pasada. Es decir, busco elegir pasos a intervalos de tiempo regulares$\Delta t$de una cierta distribución$\lambda$de tal manera que las trayectorias resultantes muestran una difusión anómala.