Difusión 2D en una superficie: coeficiente de difusión y fricción superficial

Uno debe tener algunas reservas sobre las suposiciones hechas al establecer un modelo como este. Por ejemplo, a microescala o mesoescala, ¿es probable que esta fórmula mecánica para la fricción por deslizamiento sea válida? Muy cerca de la superficie, ¿es probable que el arrastre debido al fluido obedezca la misma ley (proporcional a la velocidad), con el mismo coeficiente (rozamiento o arrastre) que en la masa? En estas condiciones, ¿la partícula simplemente se trasladará o también rotará?

Voy a dejar de lado todas estas reservas (así como el hecho de que se trata de partículas activas) y volver a plantear el problema en su forma más elemental. El comportamiento difusivo proviene de resolver la ecuación de Langevin , que incluye una fuerza de arrastre (proporcional a la velocidad,$-\zeta v$, con un coeficiente de fricción$\zeta$) y una fuerza aleatoria o ruido blanco$R(t)$(cuyas propiedades estadísticas están relacionadas con$\zeta$). De esto, se puede deducir que el desplazamiento cuadrático medio es proporcional al tiempo$t$, definiendo así un coeficiente de difusión$D=k_BT/\zeta$. También se puede derivar una ecuación de Fokker-Planck equivalente . Opcionalmente una fuerza externa sistemática$F_{\text{ext}}$Puede ser añadido.

Desea agregar a esto una fuerza de "fricción seca" (a veces llamada fricción de Coulomb), por lo que la ecuación de Langevin completa se convertirá (en una dimensión para simplificar)

$$m\frac{dv}{dt} = -\zeta v - F_{\text{friction}} \sigma(v) +F_{\text{ext}} +R(t) .$$ En el término adicional,$\sigma(v)$es el signo de la velocidad, y$F_{\text{friction}}$representa la magnitud que, en su caso, estaría dada por la fórmula que implica$\mu_s$y un peso de partícula corregido por flotabilidad. Puedes configurar$F_{\text{ext}}=0$, pero a veces es útil analizar la movilidad de la partícula permitiéndole tomar un valor constante distinto de cero.

La solución a este problema no se reduce necesariamente a un comportamiento difusivo simple con un coeficiente de difusión modificado, como esperaba. Sin embargo, ha sido abordado en la literatura. En uno de sus últimos trabajos, de Gennes J Stat Phys, 119, 953 (2005) analizó un problema de este tipo, y también fue tratado por Hayakawa Physica D, 205, 48 (2005) que se puede encontrar generalmente accesible como un preimpresión _ Más recientemente, apareció un análisis muy detallado de Touchette et al J Phys A, 43, 445002 (2010), también disponible como preimpresión .

No me siento lo suficientemente experto como para comentar sobre estas soluciones, que son bastante complicadas, aunque de Gennes identifica algunos regímenes de escala en los que parece posible una descripción simplificada. Sin embargo, es de esperar que estos consejos sobre la literatura le resulten útiles para abordar su problema.