Conteo de partículas brownianas: Proceso puntual

Question

Conteo de partículas brownianas: Proceso puntual

Física
difusión
movimiento browniano
partículas puntuales
procesos estocásticos

jorish

Imagine un proceso puntual definido por el tiempo de paso de partículas brownianas puras a través de un punto dado (en 1D), una línea (2D) o un plano (3D). Estoy interesado en la variación de los recuentos (número de partículas que pasan por los puntos) en función del tiempo de muestreo.

A diferencia del movimiento browniano, espero que mi señal muestre una correlación que no desaparece, porque una partícula que acaba de cruzar el punto tiene una alta probabilidad de cruzarlo nuevamente. Por lo tanto, la correlación debería parecerse a una función delta de dirac (clásica para procesos de puntos discretos) más una función de tiempo decreciente.

Sin embargo, estoy un poco confundido con la forma de calcularlo analíticamente. Busqué en áreas de conteo de fotones, contador geiger y dinámica de gas, pero no encontré ningún cálculo explícito de la varianza.

Dos ideas que tuve:

1/ Estudiar la función de correlación espacio-temporal de un campo de partículas brownianas (ver Gardiner, Stochastic Methods, eq. 13.3.22 por ejemplo):

$G(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi Dt}}\exp\left(-x^2/(4Dt)\right)$

en 1d. Nosotros deberíamos tener: $Var(T)=\lim_{x\rightarrow 0} \int_T\int_T G(x,t) dt dt'$ . Sin embargo, la última expresión es difícil de calcular.

2/ Usando la probabilidad de tiempo de retorno al origen del movimiento browniano (la correlación surge del paso sucesivo de la misma partícula)

¡Cualquier idea o sugerencia será bienvenida!

AJK

¿Está modelando un proceso browniano físico? El límite del movimiento browniano "puro" (despreciando la inercia) podría ser problemático en su caso, ya que la probabilidad de que la partícula se repita dependerá de la velocidad con la que cruce ese punto. Algunos de estos problemas aparecen en la teoría de la velocidad de reacción y en los problemas de tiempo de primer paso; consulte "Teoría de la velocidad de reacción: cincuenta años después de Kramers" en Rev. Mod. física

jorish

Sí, estoy modelando un BM físico. De hecho, ni siquiera es BM ya que las partículas son del orden del cm. Aún así, su desplazamiento puede describirse bien mediante un paseo aleatorio correlacionado en el espacio y el tiempo. Esto es cierto, la correlación de velocidad es un problema en poco tiempo, revisaré su referencia. Muchas gracias por eso !

Respuestas (2)

Conteo de partículas brownianas: Proceso puntual

¿Está modelando un proceso browniano físico? El límite del movimiento browniano "puro" (despreciando la inercia) podría ser problemático en su caso, ya que la probabilidad de que la partícula se repita dependerá de la velocidad con la que cruce ese punto. Algunos de estos problemas aparecen en la teoría de la velocidad de reacción y en los problemas de tiempo de primer paso; consulte "Teoría de la velocidad de reacción: cincuenta años después de Kramers" en Rev. Mod. física
Sí, estoy modelando un BM físico. De hecho, ni siquiera es BM ya que las partículas son del orden del cm. Aún así, su desplazamiento puede describirse bien mediante un paseo aleatorio correlacionado en el espacio y el tiempo. Esto es cierto, la correlación de velocidad es un problema en poco tiempo, revisaré su referencia. Muchas gracias por eso !

tom-tom · Answer 1

La cantidad con la que está tratando es el tiempo local del movimiento browniano en un punto. Es bastante difícil manejar las horas locales de manera útil.

Lo que quieres calcular es la distribución de la cantidad.

\begin{matrix} (1) & λ ({\vec{r}}_{0}) = \int_{0}^{t} d^{(d)} ({\vec{r}}_{0} - {\vec{B}}_{tu}) d tu . \end{matrix}

$\lambda(\vec r_0)=\int_0^t\delta^{(d)}\left(\vec r_0-\vec B_u\right)\mathrm du.\tag{1}$ Tenga en cuenta que

λ

$\lambda$ es una densidad espacial de tiempo, tiene dimensión de

[L^{- d} T]

$[L^{-d}T]$ , dónde

d

$d$ es la dimensión del espacio.

Primero calcule la función característica del movimiento browniano que comienza en $\vec r=0$ , en el momento $t>0$

\begin{matrix} (2) & ϕ (\vec{q}, t) = ⟨ Exp [i \vec{q} \cdot {\vec{B}}_{t}] ⟩ = \int {mi}^{i \vec{q} \cdot \vec{r}} \frac{{mi}^{- {\vec{r}}^{2} / 4 D t}}{{(4 π D t)}^{d / 2}} d \vec{r} = \frac{{mi}^{- D t {\vec{q}}^{2}}}{{(4 π D t)}^{d / 2}} . \end{matrix}

$\phi(\vec q,t)=\left\langle\exp\left[\mathrm i\vec q\cdot\vec B_t\right]\right\rangle= \int\mathrm e^{\mathrm i\vec q\cdot \vec r}\frac{\mathrm e^{-\vec r^2/4Dt}}{\left(4\pi Dt\right)^{d/2}}\mathrm d\vec r=\frac{\mathrm e^{-Dt\vec q^2}}{\left(4\pi Dt\right)^{d/2}}.\tag{2}$

Ahora, transformamos la función delta en (1) en una integral de Fourier gracias a la ecuación (2) y calculamos el promedio de $\lambda(\vec r_0)$

⟨ λ ({\vec{r}}_{0}) ⟩ = ⟨ \int_{0}^{t} \int \frac{d \vec{q}}{(2 π)^{d}} {mi}^{- i \vec{q} \cdot ({\vec{r}}_{0} - {\vec{B}}_{tu})} d tu ⟩ = \int_{0}^{t} \int \frac{d \vec{q}}{(2 π)^{d}} {mi}^{- i \vec{q} \cdot {\vec{r}}_{0}} ϕ (\vec{q}, tu) d tu .

$\left\langle\lambda(\vec r_0)\right\rangle=\left\langle\int_0^t\int\frac{\mathrm d\vec q}{(2\pi)^d}\mathrm e^{-\mathrm i\vec q\cdot(\vec r_0-\vec B_u)}\mathrm du\right\rangle =\int_0^t\int\frac{\mathrm d\vec q}{(2\pi)^d}\mathrm e^{-\mathrm i\vec q\cdot \vec r_0}\phi(\vec q,u)\mathrm du.$ El promedio es así

⟨ λ ({\vec{r}}_{0}) ⟩ = \int_{0}^{t} \frac{{mi}^{- {\vec{r}}_{0}^{2} / 4 D tu}}{{(4 π D tu)}^{d / 2}} d tu .

$\left\langle\lambda(\vec r_0)\right\rangle =\int_0^t\frac{\mathrm e^{-\vec r_0^2/4Du}}{\left(4\pi Du\right)^{d/2}}\mathrm du.$

Hay resultados exactos en una, dos y tres dimensiones para el promedio.

En una dimensión tenemos

⟨ λ ({\vec{r}}_{0}) ⟩ = \sqrt{\frac{t}{π D}} {mi}^{- {\vec{r}}_{0}^{2} / 4 D t} - \frac{| {\vec{r}}_{0} |}{2 D} mi r F C (\frac{| {\vec{r}}_{0} |}{2 \sqrt{D t}});

$\left\langle\lambda(\vec r_0)\right\rangle=\sqrt{\frac t{\pi D}}\mathrm e^{-\vec r_0^2/4Dt}-\frac{|\vec r_0|}{2D}\mathrm{erfc}\left(\frac{|\vec r_0|}{2\sqrt{Dt}}\right);$

en dos dimensiones

⟨ λ ({\vec{r}}_{0}) ⟩ = \frac{1}{4 π D} Γ (0, \frac{{\vec{r}}_{0}^{2}}{4 D t})

$\left\langle\lambda(\vec r_0)\right\rangle=\frac1{4\pi D}\Gamma\left(0,\frac{\vec r_0^2}{4Dt}\right)$ (

Γ

$\Gamma$ es la función gamma incompleta) y en tres dimensiones

⟨ λ ({\vec{r}}_{0}) ⟩ = \frac{1}{4 π D | {\vec{r}}_{0} |} mi r F C (\frac{| {\vec{r}}_{0} |}{2 \sqrt{D t}})

$\left\langle\lambda(\vec r_0)\right\rangle=\frac{1}{4\pi D|\vec r_0|}\mathrm{erfc}\left(\frac{|\vec r_0|}{2\sqrt{Dt}}\right)$

He usado el mismo método en un artículo reciente para un puente browniano.

Computar $\left\langle\lambda(\vec r_0)^2\right\rangle$ utilice la misma técnica de cálculo (también descrita en el documento). Necesitas evaluar

\int_{0}^{t} d tu \int_{0}^{t - tu} d {tu}^{'} \int \frac{d \vec{q}}{(2 π)^{d}} \frac{d {\vec{q}}^{'}}{(2 π)^{d}} {mi}^{- i \vec{q} \cdot {\vec{r}}_{0}} ϕ (\vec{q}, tu) ϕ ({\vec{q}}^{'}, {tu}^{'}) .

$\int_0^t\mathrm du\int_0^{t-u}\mathrm du'\int\frac{\mathrm d\vec q}{(2\pi)^d}\frac{\mathrm d\vec q'}{(2\pi)^d} \mathrm e^{-\mathrm i\vec q\cdot \vec r_0}\phi(\vec q,u)\phi(\vec q',u').$

Pero la distribución que está buscando no está definida en dimensiones mayores que uno: se necesita una longitud de regularización. Esto viene de las propiedades del movimiento browniano.

En el caso del Browian (el caso estudiado en el artículo), una vez regularizado, la distribución es como dices: hay un $\delta$ -función más una función decreciente con la distancia. En tres dimensiones, la función decreciente es una exponencial simple.

Trimok · Answer 2

Una posibilidad es tal vez considerar el flujo de probabilidad. En el origen de la modelización del movimiento browniano o la ecuación de calor, tiene una ecuación de conservación $\frac{\partial \rho}{\partial t} + div \vec j = 0$

Aquí $\rho(x,t)$ debe considerarse como una densidad de probabilidad y $\vec j(x,t)$ como un flujo de probabilidad.

Entonces, suponiendo una relación simple $\vec j = - D\vec \nabla \rho$ , obtenemos la ecuación habitual de "calor": $\frac{\partial \rho}{\partial t} - D \nabla^2 \rho = 0$ , con el Núcleo $G(x,t)$ .

Entonces $\vec j(x,t)$ Podría ser la cantidad en la que estás interesado. Si es así, las relaciones anteriores le permiten tenerlo simplemente a partir de la densidad de probabilidad $\rho(x,t)$

¡Gracias por tu sugerencia Trimok! Me temo que usar la ley de conservación macroscópica y el flujo de probabilidad no ayudará mucho en la descripción de las fluctuaciones microscópicas (puede que me equivoque). Tomando la varianza del número de partículas en la celda de tamaño $L$ es Poissonian para difusión pura (Media = Varianza) cualquiera que sea el tamaño de la celda. Esto se puede demostrar fácilmente con la Representación de Poisson (en el libro de Gardiner). Estoy probando un método similar para la variación del conteo en el tiempo de las partículas que pasan por un avión. Siento que debería tomar una forma como Var(T)=Mean $+f(T)$ , dónde $f(T)$ proviene de correlaciones

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