¿Qué significa "un promedio sobre el ruido" en el libro de Zwanzig?

Tengo el libro, pero no frente a mí, así que estoy adivinando por la forma de las ecuaciones. Una partícula browniana se puede representar mediante la ecuación diferencial estocástica

$$m\dot{v} = -\xi v +\varepsilon$$ donde el último término es el término estocástico, que se supone que se comporta como $\langle\varepsilon\rangle = 0$, $\langle\varepsilon(t)\varepsilon(t')\rangle = \Gamma\delta(t-t')$. Luego, simplemente tomando el valor esperado de ambos lados de la ecuación, uno termina con la ED ordinaria: $m\frac{d}{dt}\langle v\rangle = -\xi \langle v \rangle$, cuya solución es precisamente lo que escribiste en tu pregunta.

Hablando físicamente, esto significaría que dada la velocidad inicial y un proceso aleatorio (probablemente térmico) empujando alrededor de una partícula browniana, esperaría que la velocidad se extinguiera como se describe. Ahora bien, si repites el experimento mil veces, a veces muere más rápido, a veces más lento, el promedio correspondiente a la solución. Ahora, en el experimento de realidad, probablemente también tenga una distribución de probabilidad sobre la velocidad inicial de la partícula, por lo que para ajustar realmente sus datos con una teoría, también deberá tener eso en cuenta (aquí, una integral simple sobre la solución multiplicada por la distribución de velocidades iniciales).

Extendiendo las otras respuestas para ver cómo los "promedios de ruido" también se usan en otras partes del libro, podemos pensar en el "promedio de ruido" de una variable dinámica${\bf A}({\bf x},t)$como

$\langle {\bf A}({\bf x},t) \rangle_{noise} = \int_\Omega {\bf A}({\bf x},t) \rho({\pmb \epsilon}) d{\pmb \epsilon}$

dónde${\pmb \epsilon}$es un ruido aleatorio distribuido como$\rho({\pmb \epsilon})$encima$\Omega \in \mathbb{C}^n$. Desde la SDE,$m \dot{{\pmb v}} = -\xi {\pmb v}(t) + {\pmb \epsilon}(t)$, obtenemos,

$\langle m \dot{{\pmb v}} \rangle_{noise} = -\langle \xi {\pmb v}(t)\rangle_{noise} + \langle {\pmb \epsilon}(t) \rangle_{noise}$.

Si$\langle {\pmb \epsilon}(t) \rangle_{noise} = 0$, obtenemos la expresión$\langle {\pmb v(t) }\rangle_{noise} = {\pmb v}(0) \exp{(-\xi t/m )}$.

Ahora, en el experimento de realidad, probablemente también tenga una distribución de probabilidad sobre la velocidad inicial de la partícula, por lo que para ajustar realmente sus datos con una teoría, también deberá tener eso en cuenta.

Para obtener esta imagen completa, la distribución de velocidades "promediada por ruido" (o el estado${\bf x}$, que satisface la ecuación de Langevin,${\bf \dot{x}} = {\pmb a}({\pmb x}) + {\pmb \epsilon}(t)$) se deriva en el Capítulo 2 del libro. La distribución de estados,$f({\pmb x},t)$satisface,

$\begin{align*} \dot{f}({\pmb x},t) &= -\frac{\partial}{\partial {\pmb x}} \cdot {\pmb a}({\pmb x}) f({\pmb x},t) - \frac{\partial}{\partial {\pmb x}} \cdot {\pmb \epsilon}({t}) f({\pmb x},0) + \\ &\frac{\partial}{\partial {\pmb x}} \cdot {\pmb \epsilon}({t}) \int_0^t ds \exp{\Bigg(-(t-s)\frac{\partial}{\partial {\pmb x}} \cdot {\pmb a}({\pmb x})\Bigg)} \frac{\partial}{\partial {\pmb x}} \cdot {\pmb \epsilon}({s}) f({\pmb x},s) \end{align*}$

Podemos usar la definición anterior para tomar el "promedio de ruido" de esta ecuación. Obtenemos,

$\begin{align*} \frac{\partial}{\partial t}\langle {f}({\pmb x},t) \rangle_{noise} &= -\frac{\partial}{\partial {\pmb x}} \cdot {\pmb a}({\pmb x}) \langle f({\pmb x},t) \rangle_{noise} - \frac{\partial}{\partial {\pmb x}} \cdot \underbrace{\langle {\pmb \epsilon}({t}) \rangle_{noise} }_{= 0} f({\pmb x},0) + \\ &\frac{\partial}{\partial {\pmb x}} \cdot \int_0^t ds \exp{\Bigg(-(t-s)\frac{\partial}{\partial {\pmb x}} \cdot {\pmb a}({\pmb x})\Bigg)} \frac{\partial}{\partial {\pmb x}} \cdot \langle {{\pmb \epsilon}({t})\pmb \epsilon}({s}) f({\pmb x},s) \rangle_{noise} \end{align*}$

Para obtener el promedio de ruido del último término de la ecuación anterior, se utiliza la propiedad de correlación delta del ruido,$\langle {\pmb \epsilon}(t) {\pmb \epsilon}(t') \rangle_{noise} = {\pmb \Gamma }{\delta}(t-t')$. En particular,

$\begin{align} \langle {{\pmb \epsilon}({t}) \pmb \epsilon}({s}) f({\pmb x},s) \rangle_{noise} = {\pmb \Gamma} \delta(t-s) \langle f({\pmb x},s) \rangle_{noise} \end{align}$

La ecuación anterior proviene de una identidad de variables aleatorias gaussianas:$\begin{align} \langle {\pmb \epsilon}(t_1) G({\pmb \epsilon}(t_2)) \rangle_{noise} = {\pmb \Gamma} \delta(t_1-t_2) \langle \frac{\partial}{\partial {\pmb \epsilon}(t_2)} G \rangle_{noise} \end{align}$y cuando reconocemos el hecho de que$f({\pmb x},s)$depende de${\pmb \epsilon}({s'})$solo para$s' < s$. Desde aquí, llegamos directamente a la Ecuación de Fokker Planck como se indica en 2.42 del libro.

igualmente se podría utilizar la solución de la ecuación de Langevin:

$$m\dot{v} = -\zeta v +\delta F(t)$$ bruja es: $$v(t)=v(0)e^{-\zeta t \over m }+ \int \limits_0^t dt'e^{-\zeta (t-t') \over m } \delta F(t)$$ haciendo el promedio del conjunto da:

$$v(t)=\overbrace{\langle 1 \rangle}^{=1} v(0)e^{-\zeta t \over m }+ \int \limits_0^t dt'e^{-\zeta (t-t') \over m } \overbrace{\langle \delta F(t) \rangle}^{=0}$$ por la definición del término ruido como $\langle \delta F(t) \rangle=0$y $\langle \delta F(t) \delta F(t')\rangle= \delta(t-t')$dándonos:

$$\left<v\left(t\right)\right>_\text{noise}=e^{-\frac{\xi t}{m}}v\left(0\right).$$

Sería interesante saber por qué esto se llama promedio de ruido. Creo que solo se refiere al hecho de que en este promedio de conjunto, la variable aleatoria que estamos viendo es el ruido, al hacer el promedio, tomamos el promedio habilitado sobre el ruido, por lo tanto, el promedio de ruido ...