Difusión libre con un límite de absorción y un límite de "recarga"

Si estamos considerando la difusión libre de una partícula fuertemente amortiguada, entonces la evolución de su posición X se puede expresar mediante una ecuación de Langevin:

X ˙ = A ⋅ η ( t )

dónde A es constante y η es una función de ruido gaussiana con varianza unitaria:

⟨ η ( t ) η ( t ′ ) ⟩ = d ( t − t ′ )

Sé que el kernel difusivo sin restricciones o la función de Green para este problema se ve así:

GRAMO ( X , X ′ ; Δ t ) = 1 A 2 π ⋅ Δ t Exp ( − 1 2 ⋅ A 2 ⋅ Δ t ( X − X ′ ) 2 )

dónde Δ t = t − t ′ y X ′ es la posición de la partícula en el tiempo inicial t ′ .

Mi problema es este. Quiero imponer dos condiciones de contorno. La primera es una condición de contorno de salida en X 1 que correspondería a un núcleo absorbente GRAMO mi . Sé cómo hacer esto de manera bastante sencilla: simplemente resta el mismo kernel difusivo libre anterior y establece X → 2 X 1 − X :

GRAMO mi ( X , X ′ ; Δ t ) = GRAMO ( X , X ′ ; Δ t ) − GRAMO ( 2 X 1 − X , X ′ ; Δ t )

⇒ GRAMO mi ( X , X ′ ; Δ t ) = 1 A 2 π ⋅ Δ t [ Exp ( − 1 2 ⋅ A 2 ⋅ Δ t ( X − X ′ ) 2 ) − Exp ( − 1 2 ⋅ A 2 ⋅ Δ t ( 2 X 1 − X − X ′ ) 2 ) ]

La segunda condición de frontera es más complicada. Cuando la partícula llega a otro punto X 2 Quiero que la partícula sea "reenviada" a donde comenzó, es decir X ′ . De esta forma se "recarga" de nuevo al punto inicial aunque obviamente en un momento posterior. No tengo idea de cómo hacer esto o incluso qué tipo de cosas buscar. Si es posible, me gustaría agregar un retraso de tiempo fijo entre llegar X 2 y ser "transportado" de vuelta a X ′ pero si eso es demasiado complicado, incluso el transporte instantáneo sería útil.

Gracias por cualquier ayuda que la gente pueda ofrecer.

Respuestas (1)

Editar: después de publicar, descubrí que estabas hablando de volver a cargar. Esa es una condición demasiado extraña. Es posible que desee volver a verificar la condición de "recarga". Guardo la publicación aquí en caso de que necesite una condición de límite de reflexión.

Para la condición límite de rebote (reflexión) en X 2 , la condición de contorno de la forma diferencial es

− ∂ norte ( X , t ) ∂ X | X 2 = 0 ;
dónde norte ( X , t ) es la función de distribución de partículas, un signo negativo indica la condición de contorno del lado derecho (aunque aquí no hay diferencia).

En términos de su kerner de difusión, el límite de reflexión sería (suponga que el límite en el lado derecho X 2 > X , X ′ :

GRAMO r ( X , X ′ ; t ) = GRAMO ( X , X ′ ; t ) + GRAMO ( 2 X 2 − X , X ′ ) .

Esta construcción mantiene la diferenciación de GRAMO r ( X , X ′ ; t ) desaparece en X 2 .

La razón de esta condición de contorno se refiere a un artículo anterior de S. Chandrasekhar, Stochastic Problems in Physics and Astronomy , Rev. Mod. Física, 15 (1943).

¿Tiene alguna idea de cómo combinar la condición de contorno reflectante con la condición de contorno absorbente? Si tomo el núcleo reflectante que das arriba GRAMO r y luego trato de implementar las condiciones de límite de absorción usando el kernel de absorción en mi OP, luego rompo la condición de reflexión. Sucede lo mismo si lo hago absorbiendo primero y luego reflejando
@Belisarius Sí. Sí. Necesita un poco de escala antes de mezclar ambas condiciones límite. Lo pondré más tarde, cuando acceda a mi PC.
Increíble gracias
Lo siento por esta correspondencia tardía. Es la temporada del año nuevo lunar en Taiwán, un tiempo de reunión familiar. Para la difusión dentro de una región finita, X 1 = 0 < X < L = X 2 , dice la condición de contorno en 0 es absorbido, y reflexivo en X = L . El método de la imagen ( X → 2 X 1 − X ) leerá una imagen infinita de puntos: X → 2 X 1 − X ; → 2 X 2 − X , 2 X 2 − 2 X 1 − X ; → 2 X 1 − 2 X 2 − X , 4 X 1 − 2 X 2 − X ; . . . . . Afortunadamente, estos graves convergen muy rápido debido a la función gaussiana.
Difusión libre con un límite de absorción y un límite de "recarga"
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