Definiciones

Definir$W(2|1)$como la probabilidad de transición por unidad de tiempo de$1$a$2$. Esto nos da la ecuación maestra

$$\partial_t p(a, m) = \int\!\!\!\!\int\! \left(W(a,m|a',m')p(a',m') - W(a',m'|a,m)p(a,m)\right)\mathrm{d}a'\mathrm{d}m'$$

Definir más, por diversión,$\mathbb{W}(a,m|a',m') = W(a,m|a',m') - \delta(a-a')\delta(m-m')\int\!\!\int W(a'',m''|a,m)\mathrm{d}a''\mathrm{d}m''$. Con sustitución directa tenemos$\partial_t p = \int\!\!\int\mathbb{W}(a,m|a'm')p(a',m')\mathrm{d}a'\mathrm{d}m'$, operación que denotamos por

$$\partial_t p = \mathbb{W}p$$

Ahora la condición de balance detallada continua es:

$$W(a,m|a',m')p^\text{eq}(a',m') = W(a',m'|a,m)p^\text{eq}(a,m)$$

dónde$p^\text{eq}(a,m)$es la distribución de probabilidad de equilibrio, definida por la ecuación$\mathbb{W}p^\text{eq} = 0$. El saldo detallado se puede escribir en la forma

$$\frac{W(a,m|a',m')}{p^\text{eq}(a,m)} = \frac{W(a',m'|a,m)}{p^\text{eq}(a',m')}$$

Ahora podemos multiplicar esto por alguna función$f(a,m)$e integrar sobre$a$y$m$. Si requerimos que la relación se cumpla para todos$f$, tenemos la forma equivalente

$$\int\!\!\!\!\int\frac{W(a,m|a',m')}{p^\text{eq}(a,m)}f(a,m)\mathrm{d}a\mathrm{d}m = \int\!\!\!\!\int\frac{W(a',m'|a,m)}{p^\text{eq}(a',m')}f(a,m)\mathrm{d}a\mathrm{d}m, \quad \forall f$$

Por el bien de la simetría, hagamos lo mismo con otra función$g(a', m')$:

$$\int\!\!\!\!\int\!\!\int\!\!\!\!\int\frac{W(a,m|a',m')}{p^\text{eq}(a,m)}f(a,m)g(a',m')\mathrm{d}a\mathrm{d}m\mathrm{d}a'\mathrm{d}m' = \int\!\!\!\!\int\!\!\int\!\!\!\!\int\frac{W(a',m'|a,m)}{p^\text{eq}(a',m')}f(a,m)g(a',m')\mathrm{d}a\mathrm{d}m\mathrm{d}a'\mathrm{d}m', \quad \forall f, g$$

Reorganizar y lanzar$\mathbb{W}$en la mezcla, tenemos

$$\int\!\!\!\!\int\frac{f(a,m)\ \int\!\!\int \mathbb{W}(a,m|a',m')g(a',m')\mathrm{d}a'\mathrm{d}m'}{p^\text{eq}(a,m)}\mathrm{d}a\mathrm{d}m = \int\!\!\!\!\int\frac{\int\!\!\int \mathbb{W}(a',m'|a,m)f(a,m)\mathrm{d}a\mathrm{d}m\ g(a',m')}{p^\text{eq}(a',m')}\mathrm{d}a'\mathrm{d}m', \quad \forall f, g$$

Ahora, usando las definiciones anteriores, concluimos que el balance detallado se satisface si y solo si

$$(\mathbb{W}g, f) = (g, \mathbb{W}f), \quad \forall f,g$$

donde el producto interior se define como

$$(g, f) = \int\!\!\!\!\int\frac{g(a,m)f(a,m)}{p^\text{eq}(a,m)}\mathrm{d}a\mathrm{d}m$$

Derivación

Uf. Finalmente, es hora de hacer la parte difícil. La ecuación de Fokker-Planck correspondiente a su par de ecuaciones diferenciales estocásticas es (suponiendo que no haya correlación entre las fuentes de ruido):

$$\partial_t p = -\partial_a(F_a p) -\partial_m(F_m p) + \frac{1}{2}\sigma_a^2\partial_a^2p + \frac{1}{2}\sigma_m^2\partial_m^2p$$

Esto también define convenientemente el operador$\mathbb{W}$.

La estrategia ahora es tomar$(\mathbb{W}f, g)$e integrarlo por partes (una sola vez), luego hacer lo mismo con$(f, \mathbb{W}g)$. Finalmente vamos a igualar las expresiones. Hagamos estos pasos uno a la vez:

$$(\mathbb{W}f, g) = \int\!\!\!\!\int \left((F_a f - \frac{\sigma_a^2}{2}\partial_a f) \partial_a\!\!\left(\frac{g}{p^\text{eq}}\right) + (F_m f - \frac{\sigma_m^2}{2}\partial_m f) \partial_m\!\!\left(\frac{g}{p^\text{eq}}\right)\right)\mathrm{d}a\mathrm{d}m$$

Escribiendo la derivada, tenemos dentro de la integral

$$\frac{F_af\partial_ag}{p^\text{eq}} - \frac{F_afg\partial_a p^\text{eq}}{(p^\text{eq})^2} - \frac{\sigma_a^2\partial_a f\partial_ag}{2p^\text{eq}} + \frac{\sigma_a^2\partial_a f g\partial_a p^\text{eq}}{2(p^\text{eq})^2} + \frac{F_mf\partial_mg}{p^\text{eq}} - \frac{F_mfg\partial_m p^\text{eq}}{(p^\text{eq})^2} - \frac{\sigma_m^2\partial_m f\partial_mg}{2p^\text{eq}} + \frac{\sigma_m^2\partial_m f g\partial_m p^\text{eq}}{2(p^\text{eq})^2}$$

Restando de esto el una vez integrado por partes$(f, \mathbb{W}g)$, todos los términos simétricos caen y nos queda (después de multiplicar por$p^\text{eq}$):

$$\left(F_a - \frac{\sigma_a^2\partial_a p^\text{eq}}{2p^\text{eq}}\right)(f\partial_ag - g\partial_af) + \left(F_m - \frac{\sigma_m^2\partial_m p^\text{eq}}{2p^\text{eq}}\right) (f\partial_mg - g\partial_mf) = 0$$

Tenga en cuenta que a la izquierda tenemos cosas que solo dependen de$a$y en las cosas correctas que dependen de$m$. Esto quiere decir que cada uno debe ser cero independientemente del otro. Después de una manipulación sencilla, llegamos al resultado deseado.

$$\sigma_m^2\partial_m F_a = \sigma_a^2\partial_a F_m$$

Nunca había visto esta relación antes, ni encontré una referencia para ella. Estoy un poco sorprendido de que parezca tan simple.