Ecuación de Fokker-Planck para movimiento sobreamortiguado: cómo definir la velocidad media

Considere la ecuación de Langevin en el régimen sobreamortiguado ,

$$0 = -\gamma \dot{\mathbf{x}} -\nabla U(\mathbf{x}) +\boldsymbol{\eta}(t) \,$$

dónde$\boldsymbol{\eta}$es el término habitual de ruido blanco,$U$un potencial para la fuerza y$\gamma$el coeficiente de amortiguamiento (o una "matriz de amortiguamiento"). Nota: gracias a la buena referencia proporcionada en la respuesta aceptada, encontré cómo derivar la ecuación de Fokker-Planck asociada para este sistema.

Suponiendo que tenemos nuestra ecuación de Fokker-Planck para la distribución de partículas$P(\mathbf{x},t)$, me imagino ( pero no estoy seguro ) que la velocidad media de las partículas está dada por

$$\langle \dot{\mathbf{x}}(t) \rangle = -\int d^Nx \, P(\mathbf{x},t) \gamma^{-1} \nabla U(\mathbf{x}).$$

Tenga en cuenta que estoy hablando de la velocidad promedio: la velocidad de una sola partícula no está bien definida para el caso sobreamortiguado (el movimiento browniano no es diferenciable).

Ahora aquí está mi duda: en$t=0$Podríamos elegir un cierto$P(\mathbf{x},0)$, encontrar$P(\mathbf{x},t)$con el Fokker Planck y calcular$\langle \dot{\mathbf{x}}(t) \rangle$como anteriormente. Alternativamente, podríamos probar$M$diferentes condiciones iniciales$\mathbf{x}_i(0)$de$P(\mathbf{x},0)$, evolucionar cada$\mathbf{x}_i(t)$para$i=1...M$con la ecuación de Langevin y obtener

$$\langle \dot{\mathbf{x}}(t) \rangle \approx M^{-1} \sum_i \dot{\mathbf{x}}_i(t) .$$

Si esto es correcto, ¿qué método en general es más conveniente desde el punto de vista numérico? Veo una gran diferencia: simular una única PDE (la Fokker-Planck) y realizar una VS integral simulando un número alto$M$de ODEs (pero realizando una simple suma).

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