¿Por qué el número complejo es parte integral de la realidad física?

Los números complejos no son , como usted sugiere, "... una parte integral de la realidad física". Tampoco, como usted dice, la "función de distribución de ondas cuánticas necesariamente usa números complejos". No necesariamente. La mecánica cuántica se puede formular matemáticamente utilizando los números reales, los números complejos o los cuaterniones. Véase, por ejemplo, https://arxiv.org/abs/1101.5690 para una discusión matemática (en particular, consulte la Sección 2.4 sobre el teorema de Soler, resumido brevemente por, por ejemplo, https://en.wikipedia.org/wiki/Sol% C3%A8r%27s_theorem wikipedia).

Aunque, según esa cita arxiv, los números complejos parecen ser los más convenientes, no son fundamentalmente necesarios y no tienen un significado físico fundamental particular. La razón de una oración por la que la "función de onda cuántica" (el ejemplo que usted elabora) usa convenientemente números complejos es porque la función de onda se caracteriza no solo por una amplitud , sino también por una fase . Y los números complejos codifican convenientemente la relación matemática amplitud-fase. Pero si quieres representarlo de forma algo menos cómoda, no hay problema.

De hecho, según mi anterior respuesta de números complejos, las ondas electromagnéticas generalmente también se describen usando números complejos. De hecho, como sugerí, casi cualquier fenómeno descrito por una onda de amplitud más fase tendrá una representación de número complejo conveniente .

Esto no es más mágico, ni más fundamental, que usar números para contar, digamos, manzanas (o mangos como lo ilustra @Geoffrey). Los números son convenientes para contar manzanas porque cuando tienes dos manzanas, y luego alguien te da dos manzanas más, descubres que tienes ... cuatro manzanas. Y la propiedad algebraica de los números 2+2=4 representa convenientemente el comportamiento observable de la acumulación de manzanas. Nada mas. Y tampoco nada más sobre números complejos en situaciones en las que conviene.

Editar:   dado que parece haber más interés en este tema de lo que hubiera pensado (657 vistas mientras escribo), permítanme elaborar un poco sobre mi énfasis "cualquier fenómeno descrito por una onda de amplitud más fase será tener una representación de número complejo conveniente" comentario anterior. En realidad, déjame señalarte otra respuesta de stackexchange donde la idea está mucho mejor ilustrada que cualquier cosa que pueda hacer...
    https://electronics.stackexchange.com/questions/128989/
...Son las muy bonitas imágenes animadas las que ilustran las ideas. Es ese "fasor" de dos componentes (componentes reales e imaginarios) en la parte inferior que se utiliza para generar la forma de onda en la parte superior. Y ahí lo tienes, como puedes ver en las animaciones, esos fasores de números complejos de dos componentes capturan todo el comportamiento de la forma de onda de una sola vez. Muy conveniente. Pero no físico. El material físico es la forma de onda en la parte superior. El fasor de número complejo en la parte inferior es solo una forma matemática conveniente de obtenerlo cuantitativamente. Notarás que el autor primero analiza la "fase" (en el mismo sentido que lo usé anteriormente) y luego introduce el "fasor" derivado de él. Si está más interesado, wikipedia tiene una discusión de fase/fasor más larga (y otro diagrama bastante animado) https://en.wikipedia.

La respuesta corta: Tu premisa no es correcta. La Mecánica Cuántica no tiene necesariamente valores complejos. Aquí hay un manual básico de Physics.SE si eres sólido en matemáticas.

Una explicación que es ligera en matemáticas: los números complejos representan una colección particular de simetrías que se comportan de una manera particular. Están estrechamente relacionados con los números reales porque los números reales codifican información sobre el tamaño y la direccionalidad en una dimensión, mientras que los números complejos lo hacen en dos dimensiones. El número "i" es en realidad una especie de abreviatura matemática para "rotar 90 grados en sentido contrario a las agujas del reloj". Esto tiene como resultado que los vectores 2D y el álgebra vectorial 2D tradicional se pueden representar de manera simple y limpia mediante números complejos y álgebra compleja.

Lo importante de la teoría cuántica es que los estados ya no están acoplados a observables como en la física clásica. Ahora, el estado en el que se encuentra una partícula puede mezclarse y combinarse con otros estados libremente, y los observables no tienen valor hasta que se miden. Los números complejos (ya que añaden "espacio" adicional) codifican este potencial de mezcla de una manera conveniente.

Le recomendaría que pensara en las matemáticas como la "ciencia del pensamiento". Cada idea matemática fue inventada por alguien para describir sistemáticamente algo . Esto significa que cuando una idea matemática no se generaliza a una situación de "sentido común" (como los mangos "i"), eso significa que la ha eliminado de su ámbito de aplicación previsto. Los números naturales son buenos para contar mangos porque actúan como mangos; Los números complejos son buenos para describir funciones de onda porque (en cierto modo) se comportan como funciones de onda. Trate de no poner el carro delante del caballo.

En mi opinión, estás mezclando diferentes puntos:

1. La física no usa números complejos para contar entidades. Es suficiente contar los mangos por números racionales no negativos, es decir, 1 mango, 1,5 mangos, 1/3 mango, etc.

2. Tiene razón en que la mecánica cuántica se basa en la función psi, que es una función compleja. El módulo al cuadrado de esta función, un número real entre cero y uno, es la distribución de probabilidad de las partículas. Sólo este último puede medirse. Pero el formalismo matemático de la ecuación de Schroedinger se basa en la compleja función psi. La función de probabilidad real no es suficiente. Para comprender la naturaleza tenemos que aprender qué medios son adecuados para aplicar. La naturaleza no sigue nuestras predilecciones.

3. Los números complejos, en particular los números imaginarios, son definibles y comprensibles. En cuanto a la definición: Un número complejo tiene una parte real y una parte imaginaria: z = x+iy. Es posible sumar, restar, multiplicar y dividir números complejos similares a los números reales. El beneficio: cada ecuación polinomial de grado n con coeficientes reales tiene exactamente n raíces complejas. Por ejemplo, X^2 +1=0 tiene las dos raíces i y -i.

4. Si los números complejos son comprensibles o no, depende de qué tan familiarizado esté uno con los números complejos. Desde un punto de vista matemático, los números complejos son necesarios para resolver problemas a partir de números reales (soluciones de ecuaciones polinómicas) al igual que los números irracionales son necesarios para resolver problemas geométricos con números racionales (diagonal del cuadrado unitario).

5. Los números irracionales no son irracionales en el sentido literal. Los números complejos no son complejos en el sentido literal. Los números imaginarios no son imaginarios en el sentido literal.

Agregado debido al comentario de Frank: La función de probabilidad de valor real no es suficiente porque las ecuaciones fundamentales de la mecánica cuántica y de todos los tipos de teorías cuánticas de campo son ecuaciones de onda. Una onda se caracteriza en cada punto del espacio-tiempo por su amplitud A y su fase phi, consulte la respuesta de John. Esa propiedad corresponde a la característica de un número complejo z cuando se escribe en coordenadas polares:

          z=x+iy=A*e^phi with A = sqrt(x^2+y^2) and tan(phi)=y/x.   

Los números complejos son pares ordenados de números que tienen una definición extendida de multiplicación que es útil para representar el movimiento circular en dos dimensiones. (La definición de multiplicación para números complejos representa la rotación alrededor del punto de origen, más la escala de la amplitud de ese punto de acuerdo con las reglas normales de la multiplicación escalar). Entonces, decir que los números complejos son "una parte de la realidad" es, en el mejor de los casos, , solo una forma abreviada de decir que el movimiento circular (y otros movimientos ondulatorios similares) ocurren comúnmente en la realidad, por lo que la herramienta matemática diseñada para describir este fenómeno tiende a surgir mucho como una herramienta descriptiva útil.

Recuerda que los números (de cualquier tipo) son una abstracción que se utiliza para describir aspectos concretos de la realidad. Decir que un objeto matemático "es parte de la realidad" es falso en el sentido concreto, pero puede ser cierto en el sentido metafórico de que los aspectos de la realidad son descritos con precisión por esas abstracciones. En el caso de los números complejos, parte de la confusión aquí proviene de una comprensión incorrecta de lo que son ("pero son imaginarios", etc.), lo que lleva a las personas a diferenciarlos de otros tipos de números e imaginar que son sus la "existencia" es de alguna manera más extraña que la "existencia" de los números reales, números racionales, etc.

¿Estamos respondiendo a la pregunta correcta?

Tocas un punto interesante, pero tengo la sensación de que tu pregunta aún no es lo suficientemente específica como para llegar a una resolución adecuada. Otros han argumentado que los 'números complejos' no son necesarios para la mecánica cuántica. Si bien estoy de acuerdo con sus argumentos, creo que están respondiendo la pregunta.

¿Necesitamos algo que llamamos 'los números complejos' para describir la Mecánica Cuántica (QM)?

y responde que no, podemos usar algún otro objeto matemático que no se llame así.

Pero esa es una respuesta complicada a una pregunta trivial, ya que simplemente puedo definir los 'números de lagarto' con exactamente la misma definición que los 'números complejos' (sin usar ese nombre, por supuesto) y decir que simplemente puede describir QM usando ' números de lagarto' en su lugar. Podrías decir que estoy haciendo trampa, pero ¿también estoy haciendo trampa si mis números de lagarto son diferentes de los números complejos, pero no mucho y aún pueden intercambiarse con los números complejos para producir una teoría válida de QM?

Por ejemplo, suponga que mis números de lagarto amplían los números complejos con un lademás de ique indica el 'eje de lagarto' (además del eje real y complejo) pero generalmente se establece 0cuando se realiza QM, ya que no hay lagartos cuando trabajando a escala cuántica (El eje lagarto es integral, ya que los lagartos fraccionarios son crueldad animal). Claramente, hay algunos problemas que podrían captarse haciendo mejores preguntas. Un enfoque es este:

¿Es posible describir QM sin usar una estructura matemática que sea 'esencialmente la misma' que los números complejos?

Esta pregunta parece representar el problema un poco mejor. Sin embargo, depende de manera crucial de 1) qué significa 'esencialmente lo mismo' y 2) qué es una descripción de QM, o qué es una descripción física en general.

¿Cuándo son dos objetos matemáticos 'esencialmente iguales' para QM?

Creo que estaría de acuerdo en que mis números de lagarto producen una descripción de QM que es 'esencialmente la misma', ya que simplemente puedo reemplazar cada número complejo por un número de lagarto y puedo conservar el resto de la descripción. En el contexto de QM, en realidad no es mucho más que un cambio de nombre.

Pero, ¿podemos dar una definición precisa? Si estamos trabajando dentro de las matemáticas, podría proponer un enfoque. Pero no estamos en el ámbito de las matemáticas, sino en la física y la física tiene algunos problemas (¡matemáticos!) que son 'ampliamente considerados como verdaderos' para los cuales no hay prueba matemática (¿todavía?). Tomemos, por ejemplo, la hipótesis de la brecha de Yang-Mills . Se ha confirmado que la hipótesis es sólida mediante experimentos físicos y es parte de la teoría estándar, pero esto no satisface a un matemático (y quizás a algunos físicos), ya que esto no conduce a una prueba matemática.

Como hemos visto que algo puede probarse en física sin probarlo en matemáticas, realmente necesitamos una definición en física. Mi conocimiento sobre física es deficiente, por lo que no puedo continuar aquí. Pero dudo que un experto en física pueda dar una definición inequívoca de lo que debería significar aquí 'esencialmente lo mismo'. (¡Sin embargo, siéntete libre de contradecirme en eso!)

¿Cuándo algo es una 'descripción de QM'?

Al contrario del título, analicemos la descripción de la distribución de ondas cuánticas, ya que parece más fácil y es lo que en realidad se plantea la pregunta. Aún así, esto es quizás incluso más difícil que el punto anterior. Existen descripciones de esta función en diferentes idiomas con diferentes términos, así que supongo que esto debería ser 'independiente del idioma', de alguna manera. Además, ¿tomamos cualquier lectura sobre esta función como una descripción válida? Probablemente no. Probablemente deberíamos exigir que la descripción nos permita saber sin ambigüedades cómo interpretar la función en los resultados de los experimentos físicos.

¿Podemos concluir algo?

Espero haber demostrado que la afirmación de que 'los números complejos son necesarios para describir la función de distribución de ondas cuánticas' no es tan simple como parece. ¿Deberíamos preguntarnos por qué algo es verdad, antes de saber que es verdad? Probablemente no, pero, de nuevo, sé bastante poco sobre filosofía. Tal vez estas preguntas engañosas tengan respuestas fáciles que yo simplemente ignoro. Si los conoce, me encantaría escucharlos, pero esto es todo lo que puedo agregar.

Tienes varios malentendidos fundamentales.

La física no define la realidad. La física define un modelo que se aproxima a la realidad de una manera comprobable. La realidad puede obligarnos a actualizar o abandonar cualquier modelo dado , según la experiencia, a medida que continuamos probándolo. Como tal, las matemáticas, como los números complejos, no son parte de la realidad de ninguna manera demostrable. Son parte de las estructuras matemáticas que usamos para construir el modelo. Estás confundiendo un auto de juguete con un auto real, en términos generales.

Más concretamente, si está asumiendo que la física, expresada usando números complejos entre otras cosas, define literalmente la realidad, como lo hace su pregunta final, entonces la razón lógica por la que usa algo así como números complejos es "por suposición".

Además, ninguna parte de la física afirma que un número complejo representa una cantidad medible. Todos los operadores físicos tienen un espectro de valor real, y es el espectro de un operador el que nos dice los posibles valores que podemos medir. Los números complejos son información de fondo que son únicamente una parte del modelo matemático particular en cuestión. Cuando vas a medir cualquier cosa, solo obtendrás números reales. Tu modelo que trata de explicar por qué mides las cosas que haces puede necesitar más que eso, pero esto es un artificio de tu modelo y no de la realidad objetiva.

Como no tengo el nivel lo suficientemente alto como para comentar, tendré que publicar una respuesta.

Creo que esto se debe al desafortunado uso de llamar imaginario a parte del número complejo y lo que esto inculca en la mente de una persona cuando aprende números complejos por primera vez.

Pero como otros han tratado de señalar, las personas dan por sentado que el sistema de números reales es real, solo porque real está en su nombre y no se cuestiona, probablemente debido a la edad a la que está expuesto en comparación con si alguna vez se expone a Imaginario. números o no.

¿Existen realmente los "números imaginarios"?

Imagínese si solo pudiera medir el calor producido en un circuito de CA y no tuviera forma de saber la corriente. P = I ^ 2R Solo podría obtener una cantidad positiva de una corriente no observable que parecía ser 'no físicamente' positiva y negativa.

En esta analogía, el poder es como cualquier observable cuántico, como la posición. Y el bit 'no físico' da una variable subyacente, pero en este caso una que no se puede observar, por ejemplo, una distribución espacial de probabilidades.

En un átomo, los observables se acoplan en una ecuación de estado, la fase registra el momento angular o espín. El giro puede ser hacia arriba o hacia abajo, en cantidades cuantificadas, pero a la probabilidad espacial no le importa en qué dirección se enfrenta, solo la magnitud.

El otro ejemplo de números complejos para describir el espacio es el https://en.m.wikipedia.org/wiki/Tachyonic_field Aquí la parte 'no física' indica inestabilidad

"la función de distribución de onda cuántica necesariamente usa números complejos para representarse a sí misma"; como respondieron otros, esto no es obvio, en el mejor de los casos. Sin embargo, otros argumentaron en su mayoría que se puede reemplazar un número complejo por dos números reales. Por otro lado, se puede usar solo una función de onda real en lugar de la función de onda compleja, al menos en algunos casos generales importantes. La razón es que las teorías físicas modernas son invariantes bajo las llamadas transformadas de calibre, por lo que una función de onda compleja generalmente puede hacerse realidad mediante una transformada de calibre sin cambiar la física subyacente. Schrödinger (Naturaleza 169, 538 (1952)) mostró que usando el ejemplo de la ecuación de Klein-Gordon en el campo electromagnético (la ecuación de Klein-Gordon es la versión relativista más simple de la famosa ecuación de Schrödinger). Schrödinger escribió: "Que la función de onda ... pueda hacerse realidad mediante un cambio de calibre no es más que una perogrullada, aunque contradice la creencia generalizada de que los campos 'cargados' requieren una representación compleja". Resultó que la función de onda del espinor de la ecuación de Dirac más realista también se puede reemplazar por una función real ( http://akhmeteli.org/wp-content/uploads/2011/08/JMAPAQ528082303_1.pdf - mi artículo en el Journal de Física Matemática).

Nadie más parece haber abordado este punto, así que aquí hay algo más para considerar: de todos los números que conoce, los números complejos son los únicos que forman un campo algebraicamente cerrado .

Considere los números naturales: si quiere resolver el problema de la escuela primaria de "¿cuántas manzanas obtiene Alicia si Bob tiene 12 para empezar y Charlie toma 5?", eventualmente se da cuenta de que los números negativos son necesarios. Al principio, los números negativos, así como el 0 como número, parecen absurdos para la mente inexperta. Pero rápidamente ves que no hay nada extraño o "irreal" en ellos... aunque nunca verás "menos dos manzanas" en la vida real.

Luego te metes en números racionales y rápidamente ves que el "círculo no se puede elevar al cuadrado", es decir, no es posible resolver polinomios si no expandes tu grupo a irracionales también. No todo se puede expresar como cociente de dos números enteros. La aparentemente inocua ecuación a^2 + b^2 = c^2, aunque está "obviamente definida", no funciona para un grupo de números a y b que son racionales.

(Este problema surge en lugares como la fabricación de relojes, donde no siempre es posible crear engranajes que coincidan exactamente con las proporciones deseadas, ya que los engranajes solo pueden tener un número natural de dientes: solo se pueden crear proporciones racionales. Esta es la razón por la cual los relojes mecánicos son se dice que tiene una precisión de x años: no indica qué tan bien mantienen el tiempo, sino qué tan cerca está el aproximado racional del número real).

El punto es: en todos estos conjuntos de números aparentemente completos, puede plantear un problema que requiere que amplíe su definición de "qué es un número" a algo que no contenía antes para poder resolverlo.

Aquí es donde los números complejos son especiales . Una vez que se expande hacia afuera y alcanza números complejos, todo se puede resolver dentro de ese campo. No existe solución a ningún problema que requiera que use números fuera de ese campo.

En ese sentido, los números complejos son una parte integral de la realidad porque un triángulo de ángulo recto existe independientemente de los números que atribuyas y, de manera similar, la solución de un polinomio existe independientemente de si crees en números imaginarios o no. Los números complejos, por raros que sean, en realidad resuelven todos nuestros problemas matemáticos externos que tienen que ver con números.

Como han dicho otros, QM se puede modelar usando diferentes números, pero eso es cierto e irrelevante. La idea real es que en el tótem de la comprensión matemática, comenzando con las habilidades básicas de conteo que adquiere de niño, no necesita escalar más allá de los números complejos para resolver todas sus necesidades analíticas.

Habiendo dicho esto, estoy seguro de que un estudiante de matemáticas puras demostrará que estoy equivocado al informarme sobre un problema esotérico que requiere un extraño campo numérico del que nunca había oído hablar antes.

Al ver que esto es Philosophy.SE, intentaré una respuesta filosófica:

Si la física define la realidad física, entonces lo que estamos diciendo con la afirmación anterior es que la realidad está formada por números complejos inconmensurables e indefinibles.

Este es un argumento de al menos ~ 2400 años que se remonta a Platón, Aristóteles y otros: ¿los objetos matemáticos (números, etc.) existen físicamente o son solo construcciones en nuestra mente?

Un argumento similar vale para el lenguaje: ¿existe una palabra como "silla" o no existe ? Es decir, ¿tiene algún significado físico excepto disparar ciertas sinapsis en nuestra cabeza?

Otro ejemplo: Hay gente que niega la existencia de infinitos como los números irracionales porque no se pueden construir completamente; hacen todo lo posible para construir edificios matemáticos alternativos desde cero que no necesitan infinito.

Consulte https://plato.stanford.edu/entries/aristotle-mathematics/ para obtener una buena introducción y enlaces a lecturas adicionales.

La física no "describe la realidad". La "realidad" es un concepto metafísico y está siempre más allá de los resultados experimentales. La física da relaciones entre situaciones observables. Relaciona un conjunto de observaciones con otro conjunto de observaciones en un momento posterior. Está bien que la función de onda sea compleja porque no es una cantidad observable. (Se construyen a partir de datos estadísticos y se pueden usar para calcular resultados estadísticos, pero no se puede observar uno como pensamos en observar una pelota de béisbol que viaja mientras se mueve o se sienta). La función de onda es útil para relacionar un conjunto de observaciones. a otro pero no debe ser considerado como "describiendo la realidad" como tal. De hecho, no puede asignarle propiedades físicas entre observaciones/medidas. Ese es el famoso problema de la medida. Esto realmente molestó a John Bell, quien ideó una prueba para propiedades definidas entre observaciones/medidas. Eso no ha ido bien por asumir propiedades físicas definidas entre observaciones. Pienso que por definición debe haber algo que corresponda a la "realidad" pero no se parece en nada a lo que se podría llamar "realidad clásica".