QM sin números complejos

Question

QM sin números complejos

Franco

Estoy tratando de entender cómo los números complejos se abrieron paso en QM. ¿Podemos tener una teoría de la misma física sin números complejos? Si es así, ¿es más fácil la teoría que usa números complejos?

qmecanico

Posible duplicado: physics.stackexchange.com/q/8062/2451

m93a

Un artículo interesante sobre este tema: arxiv.org/pdf/2101.10873.pdf

Abbas

¡Todos los números reales también son complejos!

Respuestas (14)

QM sin números complejos

Un artículo interesante sobre este tema: arxiv.org/pdf/2101.10873.pdf

Cristóbal · Answer 1

La naturaleza de los números complejos en QM apareció en una discusión reciente, y me llamaron un estúpido pirata informático por cuestionar su relevancia. Principalmente por razones terapéuticas, escribí mi opinión sobre el tema:

Sobre el papel de los números complejos en la mecánica cuántica

Motivación

Se ha afirmado que una de las características definitorias que separan el mundo cuántico del clásico es el uso de números complejos. Es dogma, y hay algo de verdad en ello, pero no es toda la historia:

Si bien los números complejos aparecen necesariamente como ciudadanos de primera clase del mundo cuántico, argumentaré que no se debe subestimar a nuestro viejo amigo, los números reales.

Una vista de pájaro de la mecánica cuántica

En la formulación algebraica tenemos un conjunto de observables de un sistema cuántico que viene con la estructura de un espacio vectorial real. Los estados de nuestro sistema se pueden realizar como funcionales lineales positivos normalizados (por lo tanto, necesariamente reales) en ese espacio.

En la formulación de la función de onda, la ecuación de Schrödinger es manifiestamente compleja y actúa sobre funciones de valores complejos. Sin embargo, está escrito en términos de derivadas parciales ordinarias de variables reales y se separa en dos ecuaciones reales acopladas: la ecuación de continuidad para la amplitud de probabilidad y una ecuación de tipo Hamilton-Jacobi para el ángulo de fase.

El modelo manifiestamente real de los sistemas cuánticos de 2 estados es bien conocido.

Formulación algebraica compleja y real

Echemos un vistazo a cómo terminamos con números complejos en la formulación algebraica:

Complejizamos el espacio de observables y lo convertimos en un $C^*$ -álgebra. Luego continuamos y lo representamos mediante operadores lineales en un espacio de Hilbert complejo (construcción GNS).

Los estados puros terminan como rayos complejos, los mixtos como operadores de densidad.

Sin embargo, esa no es la única manera de hacerlo:

Podemos dejar que el espacio real sea real y dotarlo de la estructura de un Lie-Jordan-Algebra. Luego seguimos adelante y lo representamos mediante operadores lineales en un espacio real de Hilbert (construcción de Hilbert-Schmidt).

Tanto los estados puros como los mixtos terminarán como rayos reales. Mientras que los puros son necesariamente únicos, los mixtos en general no lo son.

La razón de la complejidad

Incluso en formulaciones manifiestamente reales, la estructura compleja sigue ahí, pero disfrazada:

Hay una propiedad 2 de 3 que conecta el grupo unitario $U(n)$ con el grupo ortogonal $O(2n)$ , el grupo simpléctico $Sp(2n,\mathbb R)$ y el grupo lineal general complejo $GL(n,\mathbb C)$ : Si dos de los últimos tres están presentes y son compatibles, obtendrá el tercero gratis.

Un ejemplo de esto es el producto de Lie-bracket y Jordan: Junto con una condición de compatibilidad, estos son suficientes para reconstruir el producto asociativo del $C^*$ -álgebra.

Otro ejemplo de esto es la estructura de Kähler del espacio complejo proyectivo de Hilbert tomado como una variedad real, que es lo que se obtiene cuando se elimina la libertad de medida de la representación de los estados puros:

Viene con un producto simpléctico que especifica la dinámica a través de campos vectoriales hamiltonianos y una métrica riemanniana que le brinda probabilidades. Hágalos compatibles y obtendrá una estructura casi compleja implícitamente definida.

La mecánica cuántica es unitaria, siendo la estructura simpléctica la responsable de la dinámica, la estructura ortogonal la responsable de las probabilidades y la estructura compleja que conecta estas dos. Puede realizarse tanto en espacios reales como complejos de manera razonablemente natural, pero toda estructura está necesariamente presente, aunque no de manera manifiesta.

Conclusión

¿Es la preferencia por los espacios complejos solo un accidente histórico? Realmente no. La formulación compleja es una simplificación, ya que la estructura se reduce a los escalares de nuestra teoría, y hay cierta elegancia en la unificación de dos estructuras reales en una sola compleja.

Por otro lado, se podría argumentar que no tiene sentido mezclar estructuras responsables de distintas características de nuestra teoría (dinámica y probabilidades), o que introducir no observables en nuestro álgebra es un olor de diseño, ya que preferiblemente solo deberíamos usar operaciones interiores.

Si bien probablemente seguiremos haciendo mecánica cuántica en términos de realizaciones complejas, se debe tener en cuenta que la teoría puede hacerse manifiestamente real. Este hecho no debería sorprender a nadie que haya tomado la vista de pájaro en lugar de simplemente mirar a través de las anteojeras de formalismos específicos.

bueno para un truco estúpido cuestionador , digo que si más trucos estúpidos cuestionadores hacen esto, es posible que la comprensión general aumente bastante
¿Podría dar más detalles sobre la declaración sobre $U(n)$ , $Sp(2n, \mathbb{R})$ , $O(n)$ , $GL(n, \mathbb{C})$ ?
@Problemania: $U(n)=Sp(2n,\mathbb R)\cap O(2n)\cap GL(n,\mathbb C)$ ; sin embargo, la intersección de 2 de los grupos en el RHS es suficiente, y en particular $U(n)=Sp(2n,\mathbb R)\cap O(2n)$ ; la complejidad surge naturalmente cuando tratamos con estructuras simplécticas y ortogonales compatibles; por supuesto, es igualmente válido decir que las estructuras simplécticas surgen naturalmente de estructuras ortogonales y complejas compatibles o las ortogonales de estructuras simplécticas y complejas compatibles; pero podría decirse que las estructuras complejas están menos motivadas desde un punto de vista físico (o quizás 'filosófico')
¿La dinámica tiene necesariamente una estructura simpléctica? ¿Qué pasa con la dinámica que no proviene de un hamiltoniano clásico?
@qazwsx para obtener una definición precisa de compatibilidad, consulte en.wikipedia.org/wiki/Unitary_group#2-out-of-3_property
Me pregunto en qué sentido "El modelo manifiestamente real de los sistemas cuánticos de 2 estados es bien conocido". Intenté buscar en Google y no pude encontrar ninguna referencia, ¿podría proporcionar una?
Christoph, ¿puede dar alguna referencia que detalle estas afirmaciones estructurales con más detalle? ¿Preferiblemente dirigido a alguien que ya conoce QM y la teoría de Lie, pero no se le ha enseñado la versión "a vista de pájaro" de la misma?

Ron Maimón · Answer 2

Los números complejos en la mecánica cuántica son en su mayoría falsos. Se pueden reemplazar en todas partes por números reales, pero necesita tener dos funciones de onda para codificar las partes real e imaginaria. La razón es que los valores propios del operador de evolución temporal $e^{iHt}$ son complejos, por lo que las partes real e imaginaria son pares degenerados que se mezclan por rotación, y puede volver a etiquetarlos usando i.

La razón por la que sabes que es falso es que no todas las simetrías físicas respetan la estructura compleja. La inversión del tiempo cambia el signo de "i". La operación de inversión del tiempo hace esto porque está invirtiendo el sentido en el que las partes real e imaginaria de los vectores propios giran entre sí, pero sin invertir el signo de la energía (dado que un estado invertido en el tiempo tiene la misma energía, no negativa de la energía).

Esta propiedad significa que la "i" que ves en la mecánica cuántica se puede considerar como una abreviatura de la matriz (0,1;-1,0), que es algebraicamente equivalente, y luego puedes usar funciones de onda de partes reales e imaginarias. Entonces, la inversión del tiempo es fácil de entender: es una transformación ortogonal que lleva i a -i, por lo que no conmuta con i.

La forma correcta de preguntar "por qué i" es preguntar por qué el operador i, considerado como una matriz, conmuta con todos los observables físicos. En otras palabras, ¿por qué los estados se duplican en la mecánica cuántica en pares indistinguibles? La razón por la que podemos usarlo como una unidad imaginaria de número c es porque tiene esta propiedad. Por construcción, i conmuta con H, pero la pregunta es por qué debe conmutar con todo lo demás.

Una forma de entender esto es considerar dos sistemas de dimensión finita con hamiltonianos aislados. $H_1$ y $H_2$ , con una interacción hamiltoniana $f(t)H_i$ . Estos deben interactuar de tal manera que si congela la interacción en cualquier momento, de modo que $f(t)$ se eleva a una constante y permanece allí, el resultado será un sistema cuántico significativo, con energía distinta de cero. Si hay algún punto en el que $H_i(t)$ no conmuta con el operador i, habrá estados de energía que no pueden rotar en el tiempo, porque no tienen una pareja de la misma energía para rotar. Dichos estados deben ser necesariamente de energía cero. El único estado de energía cero es el vacío, por lo que esto no es posible.

Usted concluye que cualquier mezcla a través de una interacción hamiltoniana entre dos sistemas cuánticos debe respetar la estructura i, por lo que entrelazar dos sistemas para hacer una medición en uno entrelazará igualmente los dos estados que juntos forman el estado complejo.

Es posible truncar la mecánica cuántica (al menos con seguridad en una teoría bosnica pura con un hamiltoniano real, es decir, PT simétrico) de modo que el estado fundamental (y solo el estado fundamental) tenga energía exactamente cero y no tenga un socio. Para un sistema bosónico, la función de onda del estado fundamental es real y positiva, y si tiene energía cero, nunca necesitará mezclarse con el compañero imaginario. Tal truncamiento ocurre naturalmente en la continuación analítica de los sistemas SUSY QM con SUSY ininterrumpido.

Interesante. Sin embargo, cuando comienzas la discusión con $e^{iHt}$ , ¿no estás asumiendo ya espacios complejos de Hilbert?
@Argyll: i es una matriz real de 2 por 2 que se eleva a -1. Los valores propios son complejos incluso cuando la teoría es real.
Entonces, ¿cuáles son las dimensiones de $H$ y $t$ ? ¿Por qué se multiplica por una matriz de 2 por 2 a la izquierda? $e^{iHt}$ proviene del teorema de Stone sobre una familia de parámetros del grupo unitario. ¿Cuál es tu versión de $e^{iHt}$ ¿Residencia en?
@Argyll: la dimensión real de H es el doble de la dimensión compleja original. El hamiltoniano se multiplica por "i" para hacer que los valores propios sean imaginarios. Esta versión, que no es realmente mía, es simplemente la forma obvia de convertir espacios vectoriales complejos en espacios vectoriales reales, duplicando la dimensión y considerando una base real que consiste en los vectores base originales e_1 ... e_n e i multiplicados por estos ie_1 .... ie_n, entonces 2n vectores base. Es fácil de hacer tanto en dimensiones finitas como en dimensiones infinitas, y no hay sutilezas. Puedes verificar que la multiplicación por i actúa como la matriz de 2 por 2 que di.

terry bollinger · Answer 3

Frank, sugeriría comprar o pedir prestada una copia de QED: The Strange Theory of Light and Matter de Richard Feynman . O simplemente puede ir directamente a la versión en video de Nueva Zelanda en línea de las conferencias que dieron origen al libro .

En QED , verá cómo Feynman prescinde por completo de los números complejos y, en cambio, describe las funciones de onda de los fotones (partículas de luz) como nada más que diales similares a relojes que giran a medida que se mueven por el espacio. En una nota al pie de página de la versión del libro, menciona de pasada "ah, por cierto, los números complejos son realmente buenos para representar la situación de los diales que giran a medida que se mueven por el espacio", pero intencionalmente evita hacer la equivalencia exacta que es tácita o al menos implícito en muchos libros de texto. Feynman es bastante claro en un punto: es la rotación de fase a medida que te mueves por el espacio el concepto físico más fundamental para describir la mecánica cuántica, no los números complejos en sí.[1]

Debo señalar rápidamente que Feynman no estaba faltando el respeto a la notable utilidad de los números complejos para describir fenómenos físicos. ¡Lejos de ahi! Le fascinó, por ejemplo, la ecuación del plano complejo conocida como Identidad de Euler , $e^{i\pi} = -1$ (o equivalente, $e^{i\pi} + 1 = 0$ ), y la consideró una de las ecuaciones más profundas de todas las matemáticas: véase su Volumen 1, Capítulo 22 de "The Feynman Lectures in Physics" .

Es solo que Feynman en QED quería enfatizar la notable simplicidad conceptual de algunos de los conceptos más fundamentales de la física moderna. En QED , por ejemplo, continúa utilizando sus pequeños relojes para mostrar cómo, en principio , todo su método para predecir el comportamiento de los campos y sistemas electrodinámicos podría realizarse utilizando dichos diales móviles.

Eso no es práctico, por supuesto, pero ese nunca fue el punto de vista de Feynman en primer lugar. Su mensaje en QED era más parecido a esto: ¡Aférrate a la simplicidad cuando la simplicidad esté disponible! Siempre construya las cosas más complicadas desde esa simplicidad, en lugar de reemplazar la simplicidad con la complejidad. De esa manera, cuando veas algo horrible y aparentemente irresoluble, esa vocecita puede entrar y decir: "¡Sé que el principio simple que aprendí todavía tiene que estar en este lío, en alguna parte! Así que todo lo que tengo que hacer es encontrarlo y ¡Todo este llamativo y nevado razzamatazz desaparecerá!"

[1] Irónicamente, dado que los diales físicos tienen una forma particularmente simple de simetría circular en la que todas las posiciones (fases) del dial son absolutamente idénticas en todas las propiedades, se podría argumentar que tales diales proporcionan una forma más precisa de representar la fase cuántica que los números complejos. Esto se debe a que, al igual que con los diales, una fase cuántica en un sistema real parece no tener absolutamente nada de único: una "posición de dial" es tan buena como cualquier otra, siempre que todas las fases mantengan el mismo nivel. posiciones relativas entre sí. Por el contrario, si usa un número complejo para representar una fase cuántica, hay una sutil asimetría estructural que aparece si realiza ciertas operaciones, como elevar el número al cuadrado (fase). Si hace eso, haga un número complejo, entonces, por ejemplo, la posición del reloj representada por $1$ (llámalo a las 3 p. m.) se queda en $1$ , mientras que en contraste la posición del reloj representada por $-1$ (21:00) se convierte en un $1$ (15:00). Esto no es gran cosa en una ecuación correctamente establecida, pero esa pequeña asimetría curiosa definitivamente no es parte de la fase cuántica detectable físicamente. Entonces, en ese sentido, representar tal fase usando un número complejo agrega un poco de "ruido" matemático que no está en el sistema físico.

Hola, Terry: creo que acabo de corregir un error tipográfico (cambié "faltar el respeto" a "no faltar el respeto") (verifique cuidadosamente) y agregué un enlace para apoyar la fascinación de Feynman con $e^{i\,\pi}+1=0$ (su maravillosa conferencia sobre "Álgebra").
Hola Rod, wow, gracias, ¡tienes toda la razón sobre el error tipográfico! Gracias también por ese enlace. ¡Me encanta que Caltech haya hecho una copia electrónica limpia con fórmulas en línea! Feynman nunca perdió de vista el hecho de que la física se trata fundamentalmente de encontrar la simplicidad dentro de la aparente complejidad, y no al revés, y sus Conferencias capturan ese tema de manera hermosa.
De hecho, Caltech ha hecho un trabajo hermoso. De hecho, me gusta más navegar por su versión en línea que por mis propias copias en papel.
¡La capacidad de búsqueda también es una gran ventaja! A veces, se pueden ocultar cositas bastante extraordinarias de Feynman como apartes en un texto general que no parece relevante para el tema. Incluso hay casos raros en los que el audio tiene información que no está en el texto, aunque la versión en línea, por supuesto, no ayuda allí.

steve byrnes · Answer 4

Si no te gustan los números complejos, puedes usar pares de números reales $(x,y)$ . Puede "agregar" dos pares por $(x,y)+(z,w) = (x+z,y+w)$ , y puedes "multiplicar" dos pares por $(x,y) * (z,w) = (xz-yw, xw+yz)$ . (Si no cree que la multiplicación debería funcionar de esa manera, puede llamar a esta operación "shmultiplication" en su lugar).

Ahora puedes hacer cualquier cosa en mecánica cuántica. Las funciones de onda están representadas por vectores donde cada entrada es un par de números reales. (O puede decir que las funciones de onda están representadas por un par de vectores reales). Los operadores están representados por matrices donde cada entrada es un par de números reales o, alternativamente, los operadores están representados por un par de matrices reales. Shmultiplication se utiliza en muchas fórmulas. Etcétera etcétera.

Estoy seguro de que ves que estos son exactamente lo mismo que los números complejos. (ver el comentario de Lubos: "una maquinaria artificial que imita los números complejos") Son "números complejos para personas que tienen problemas filosóficos con los números complejos". Pero tendría más sentido superar esos problemas filosóficos. :-)

¿Pero no cambia simplemente su pregunta a "QM sin shmultiplication"?
Me gustan mucho los números complejos. Son extremadamente útiles y convenientes, en conexión con el teorema fundamental del álgebra, por ejemplo, o cuando se trabaja con ondas. Sólo estoy tratando de entender.
alfredo- si Ese sería el punto. Me preguntaba si podría haber, no sé, una formulación matricial de la misma física que usaría otra herramienta (matrices) que los números complejos. Nuevamente, no tengo ningún problema con los números complejos y los amo.
también tenga en cuenta que puede modelar QM en un espacio de estados en una esfera en $\mathbb{C}^n$ con radio $|x|^2+|y|^2+...=1$ . Estas esferas tienen dimensión $2n$ por los reales.
@kηives: el espacio de estados para un sistema cuántico de dimensión finita es el espacio proyectivo complejo $P_n\mathbb{C}\cong\mathbb{C}^{n+1}\setminus\{0\}/\mathbb{C}^*\cong U(n+1)/U(n)\times U(1)\cong S^{2n+1}/S^1$
@Steve B.: Comencé una respuesta hace un tiempo que se superpone a la tuya, y simplemente la puse. La división parte real/imaginaria es claramente la forma fundamental de pensar al respecto, porque la invariancia de T no respeta i. Se requiere Schmultiplication por el hecho de que todas las interacciones conmutan con la matriz "i" definida a partir de los estados de energía distinta de cero que giran entre sí. La declaración de que todo conmuta con "i" es la declaración de que QM es complejo.

Asmaier · Answer 5

Asmaier

Que hable el viejo maestro Dirac:

"Uno podría pensar que podría medir una variable dinámica compleja midiendo por separado sus partes real e imaginaria pura. Pero esto implicaría dos mediciones o dos observaciones, lo que estaría bien en la mecánica clásica, pero no en la mecánica cuántica, donde dos observaciones en general interfieren entre sí - en general no es permisible considerar que dos observaciones se pueden hacer exactamente simultáneamente, y si se hacen en rápida sucesión, la primera generalmente perturbará el estado del sistema e introducirá una indeterminación que afectará el segundo." (PAM Dirac, Los principios de la mecánica cuántica, §10, p.35)

Entonces, si interpreto bien a Dirac, el uso de números complejos ayuda a distinguir entre cantidades que se pueden medir simultáneamente y las que no. Perdería esa característica si formulara QM puramente con números reales.

qmecanico

Querido asmaier, por lo general está mal visto copiar y pegar directamente respuestas idénticas. (El problema es si todos comienzan a copiar y pegar respuestas idénticas en masa). En general, en tales situaciones, considere una de las siguientes opciones: (i) Elimine tres de sus respuestas. (ii) Marque las publicaciones duplicadas y elimine tres de sus respuestas. (iii) Si cree que las cuatro publicaciones no están duplicadas, personalice cada respuesta para abordar las cuatro preguntas específicas diferentes.

Asmaier

Estimado Qmecánico, ¿no está mal visto copiar y pegar comentarios idénticos? ;-) Sin embargo, admito que mis respuestas fueron demasiado similares. Así que traté de seguir su sugerencia (iii) y personalicé mis respuestas para abordar la pregunta específica de una mejor manera. Sin embargo, sigo creyendo que la cita de Dirac es muy relevante e importante, por lo que me referiré a ella en cada respuesta.

ajmeteli

@asmaier: miré la cita en el libro y tiendo a interpretarla de la siguiente manera: en un caso general, no es posible medir una variable dinámica compleja. Así que no entiendo muy bien cómo llegas a tu conclusión: "el uso de números complejos ayuda a distinguir entre cantidades que se pueden medir simultáneamente y las que no".

Asmaier

No estoy seguro si ese es un buen ejemplo, pero piensa en la función de onda descrita por la ecuación de Schrödinger. Se podría dividir la ecuación de Schrödinger en dos ecuaciones acopladas, una para la parte real y otra para la parte imaginaria de la función de onda. Sin embargo, no se puede medir la fase y la amplitud de la función de onda simultáneamente, porque ambas medidas interfieren entre sí. Para hacer esto manifiesto, uno usa una sola ecuación con una función de onda compleja y genera la cantidad real observable elevando al cuadrado la función de onda compleja.

ajmeteli

@asmaier: Todavía no veo cómo esto respalda la conclusión que cité. Por cierto, como mencionó la ecuación de Schrödinger, es posible que desee ver mi respuesta a la pregunta.

Asmaier

No estoy en desacuerdo con tu respuesta. Con seguridad, se puede formular QM de una manera que use pares de números reales en lugar de números complejos. Sin embargo, como señala Dirac, hay que tener en cuenta que en QM las mediciones pueden no conmutar. Si uno formulara QM con pares de números reales, sería más difícil distinguir entre pares de números reales, donde las medidas conmutan y entre pares de números reales, donde las medidas no conmutan.

ajmeteli

@asmaier: mi respuesta se trata de usar solo una función real, no un par. Además, según tengo entendido, la conmutación o la falta de ella no depende de si combinas el par de números reales en uno complejo o no.

alfredo centauro · Answer 6

alfredo centauro

Los números complejos "aparecen" en muchas áreas como, por ejemplo, el análisis de CA en ingeniería eléctrica y el análisis de Fourier de funciones reales.

La exponencial compleja, $e^{st},\ s = \sigma + i\omega$ aparece en ecuaciones diferenciales, transformadas de Laplace, etc.

En realidad, no debería sorprendernos tanto que se usen números complejos en QM; son omnipresentes en otras áreas de la física y la ingeniería.

Y sí, el uso de números complejos hace que muchos problemas sean mucho más fáciles de resolver y comprender.

Disfruté especialmente este libro (escrito por un EE) que brinda muchos ejemplos esclarecedores del uso de números complejos para simplificar enormemente los problemas.

Franco

Supongo que me pregunto si esos números complejos son "intrínsecos" o simplemente un dispositivo informático arbitrario que resulta ser efectivo.

niel de beadrap

@Frank: podrías preguntar lo mismo sobre los números reales. ¿Quién ha medido algo para ser precisamente

\sqrt{2}

$\sqrt 2$ metros, de todos modos?

Alan Romero

¿Qué significa que los números complejos "aparecen" en el análisis de circuitos de CA? La esencia de AC es un componente de conducción sinusoidal. Se podría decir que la naturaleza de estos componentes proviene de factores geométricos, que se vuelven eléctricos a partir de un producto escalar en generadores. Una vez que tenemos variables sinusoidales interactuando en un circuito eléctrico, conocemos la utilidad de los números complejos. Eso, a su vez, proviene de las ecuaciones. ¿Qué significa todo eso ?

alfredo centauro

Significa que si las fuentes en el circuito son todas de la forma

e^{s t}

$e^{st}$ , los voltajes y corrientes en el circuito serán de esa forma. Esto se sigue de la naturaleza de las ecuaciones diferenciales que representan el circuito. El hecho de que elijamos establecer

s = j ω

$s = j\omega$ para el análisis de CA y luego seleccione solo la parte real de las soluciones como una restricción de "realidad" no cambia el hecho matemático de que las ecuaciones diferenciales que describen el circuito tienen soluciones exponenciales complejas.

Franco

Niel: sí, la pregunta más importante es: ¿por qué las matemáticas funcionan para describir la naturaleza? No hay una buena razón por la que debería, en mi humilde opinión. Y en realidad, puede que no, o puede que necesitemos matemáticas que aún no hemos descubierto.

Franco

Alan, probablemente no signifique nada. Resulta ser una herramienta que hasta ahora funciona bastante bien.

alfredo centauro

@Frank, escribes: "No hay una buena razón por la que [las matemáticas] deberían [funcionar en absoluto para describir la naturaleza]". Eso es cierto, pero no en la forma en que me imagino que lo dices en serio. Considere cuán inútil es la tarea de expresar tal razón . ¿Con qué lenguaje y lógica expresarías tal razón? ¿Qué lenguaje y lógica serían impermeables a la pregunta de seguimiento de "bueno, cuál es la razón por la que el lenguaje y la lógica funcionan?"

Franco

Alfred: Mi punto de vista es que la lógica y las matemáticas son construcciones humanas, pero que la naturaleza puede prescindir de esas construcciones o de nosotros. No podemos entender la naturaleza sin lógica o matemáticas porque eso es todo lo que tenemos. No estoy seguro de querer seguirte en el metanivel que sugieres, si te entiendo. Todo lo que quise decir es que debemos ser conscientes de que la lógica y las matemáticas probablemente sean limitadas. Otra cosa que podrías decir es que como somos parte de la naturaleza, bueno, la lógica y las matemáticas son parte de la naturaleza...

usuario46925

@AlfredCentauri: el enlace está desactualizado

rastrillo lunar · Answer 7

Los números complejos se usan solo por razones prácticas: QM incluye hélices y funciones similares. La fórmula de Euler

{mi}^{i α} = pecado α + i porque α

${e^{i\alpha}} = \sin \alpha + i \cos \alpha$

está describiendo hélices tridimensionales de una manera muy simple, pero si quieres usarlo debes reemplazar un eje real por un eje imaginario. Esta es la razón por la cual QM generalmente trabaja con un eje imaginario. Por la misma razón se usan los números complejos en ingeniería: en todos los casos se debe describir un proceso similar a una hélice.

Gary Godofredo · Answer 8

El grupo de rotación, sus representaciones y sus espacios portadores son partes fundamentales de la mecánica cuántica. Cada objeto en el universo es un objeto spin=0, 1/2, 1, 3/2, 2,…. Para los objetos de espín entero, el grupo de rotación es O(3), y las matrices de rotación contienen solo números reales. Sin embargo, hay partículas de espín medio entero en el mundo, y se necesitan matrices con números complejos para rotarlas. El grupo que cubre todas las rotaciones es SU(2) que tiene una matriz de generadores de 2 x 2 $J$ . Los 3 ángulos de rotación deben codificarse en la matriz 2 x 2 de parámetros de grupo de mentiras $\Theta$ . El elemento de grupo (es decir, la matriz de rotación) es entonces

R = {mi}^{Θ^{metro norte} j^{norte metro}}

$R=e^{\Theta^{mn} J^{nm}}$ La “S” especial en SU(2) significa

d e t (R) = 1

$det(R)=1$ lo que implica

T r a c e (Θ) = 0

$Trace(\Theta)=0$ . R es unitario lo que hace

(Θ^{n m})^{*} + Θ^{m n} = 0

$(\Theta^{nm})^* + \Theta^{mn} = 0$ . Si los elementos en

Θ

$\Theta$ son reales, entonces

Θ

$\Theta$ es antisimétrico. Asi que

Θ = [\begin{matrix} a & b \\ - b & - a \end{matrix}]

$\Theta = \begin{bmatrix} a & b \\ -b & -a \end{bmatrix}$ Observe que no hay manera de meter un tercer ángulo c en

Θ

$\Theta$ sin uso

i

$i$ . Luego usando

i

$i$ las 3 rotaciones se pueden poner en

Θ

$\Theta$ .

Θ = (i / 2) [\begin{matrix} - θ_{z} & θ_{X} + i θ_{y} \\ θ_{X} - i θ_{y} & θ_{z} \end{matrix}]

$\Theta=(i/2)\begin{bmatrix} -\theta_z & \theta_x + i\theta_y \\ \theta_x - i\theta_y & \theta_z \end{bmatrix}$

Por lo tanto, una razón por la que los números complejos son necesarios en la mecánica cuántica es porque existen partículas de espín semientero.

En mi humilde opinión, esta es esencialmente la razón por la que Sakurai da: ¡me gusta!
Pero la ecuación de Schrödinger no se preocupa por el espín y todavía necesita números complejos.
@asmaier Correcto, otros presentan el argumento de que la ecuación de Schrödinger requiere números complejos. Sin embargo, la ecuación de Schrödinger (que describe la traslación temporal de los objetos) no es la única pieza de QM. Cómo se rotan los objetos es otra pieza de QM. No vi ninguna otra respuesta que aborde la necesidad de números complejos en esta parte de QM.

ajmeteli · Answer 9

Sí, podemos tener una teoría de la misma física sin números complejos (sin utilizar pares de funciones reales en lugar de funciones complejas), al menos en algunas de las teorías cuánticas generales más importantes. Por ejemplo, Schrödinger (Nature (London) 169, 538 (1952)) señaló que uno puede hacer que una función de onda escalar sea real mediante una transformación de calibre. Además, sorprendentemente, la ecuación de Dirac en el campo electromagnético es generalmente equivalente a una ecuación diferencial parcial de cuarto orden para un solo componente complejo, cuyo componente también puede hacerse real mediante una transformada de calibre (http://akhmeteli.org/wp-content /uploads/2011/08/JMAPAQ528082303_1.pdf (un artículo publicado en Journal of Mathematical Physics) o http://arxiv.org/abs/1008.4828 ).

dmckee --- gatito ex-moderador · Answer 10

No estoy muy versado en la historia, pero creo que la gente que se dedicaba a la física ondulatoria clásica había notado hace mucho tiempo la estrecha correspondencia entre los muchos $\sin \theta$ arena $\cos \theta$ s volando alrededor de sus ecuaciones y el comportamiento de $e^{i \theta}$ . De hecho, la mayoría de los cálculos relacionados con las ondas se pueden realizar con menos problemas en forma exponencial.

Luego, en la historia temprana de la mecánica cuántica encontramos cosas descritas en términos de ondas de materia de De Broglie.

Y funciona, que es realmente la última palabra sobre el asunto.

Finalmente, todas las matemáticas que involucran números complejos se pueden descomponer en operaciones compuestas con números reales, por lo que obviamente puedes volver a formular la teoría en esos términos. No hay razón para pensar que obtendrá algo en términos de facilidad o perspicacia.

¿Se puede escribir un espacio de Hilbert de dimensión infinita complejo como un espacio de Hilbert real con estructura compleja? Parece plausible que se pueda hacer, pero ¿podría haber algún problema debido a la dimensionalidad infinita?
El campo subyacente que elija, $\mathbb{C}$ o $\mathbb{R}$ , ya que su espacio vectorial probablemente no tenga nada que ver con su dimensionalidad.
@dushya: No hay problemas debido a la dimensionalidad infinita, el espacio es separable y puede aproximarse mediante subespacios de dimensión finita.

ruben verresen · Answer 11

De hecho, existe una forma natural de pensar en la mecánica cuántica sin usar números complejos. ¡Esto está estrechamente relacionado con la formulación hamiltoniana-jacobiana (HJ) de la mecánica clásica y brinda una perspectiva interesante sobre el vínculo entre la mecánica clásica y la cuántica!

Mecanica clasica

El formalismo HJ es de primer orden (!) en el tiempo, donde la velocidad viene dada por

\dot{X} (t) = \frac{\nabla S (X (t), t)}{metro}

$\dot {\boldsymbol x}(t) = \frac{\boldsymbol{\nabla} S(\boldsymbol x(t),t)}{m}$ dónde

S

$S$ se llama función principal de Hamilton, satisfaciendo

\partial_{t} S (X, t) = - \frac{| \nabla S (X, t) |^{2}}{2 metro} + V (X) .

$\boxed{ \partial_t S(\boldsymbol x,t) = - \frac{| \boldsymbol \nabla S(\boldsymbol x,t)|^2}{2m} + V(\boldsymbol x) } \;.$ _{Verificación de cordura: si el potencial $V=0$ , entonces podemos resolver la última ecuación con $S(\boldsymbol x,t) = \boldsymbol{k \cdot x} - \frac{|\boldsymbol k|^2}{2m}t$ , con la ecuación de movimiento dándonos así $\dot {\boldsymbol x}(t) = \frac{\boldsymbol k}{m}$ .}

Antes de generalizar esto al caso cuántico, es útil observar que podemos reescribir la ecuación de movimiento en términos de la densidad $\rho(\boldsymbol x,t)$ como

\partial_{t} ρ + \nabla \cdot (ρ v) = 0 con v (X, t) = \frac{\nabla S (X, t)}{metro} .

$\boxed{ \partial_t \rho + \boldsymbol{\nabla \cdot}\left( \rho \boldsymbol v \right) = 0 \qquad \textrm{with } \boldsymbol v(\boldsymbol x,t) = \frac{\boldsymbol{\nabla} S(\boldsymbol x,t)}{m} } \; .$ El caso especial de

ρ (x, t) = δ (x - x (t))

$\rho(\boldsymbol x,t) = \delta(\boldsymbol x - \boldsymbol x(t))$ recupera la ecuación anterior. Las dos ecuaciones encuadradas anteriores capturan la física newtoniana clásica.

Mecánica Cuántica---sin números complejos

La afirmación es que la mecánica cuántica está dada por la misma ecuación de continuidad anterior (es decir, la segunda ecuación encuadrada), pero ahora solo agregamos un nuevo término a la ecuación para $S$ :

\partial_{t} S (X, t) = - \frac{| \nabla S (X, t) |^{2}}{2 metro} + V (X) + q (X) dónde q (X) := - \frac{ℏ^{2}}{2 metro} \frac{\nabla^{2} (\sqrt{ρ})}{\sqrt{ρ}} .

$\boxed{ \partial_t S(\boldsymbol x,t) = - \frac{| \boldsymbol \nabla S(\boldsymbol x,t)|^2}{2m} + V(\boldsymbol x) + Q(\boldsymbol x) \qquad \textrm{where } Q(\boldsymbol x):= -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{ \nabla^2 \left(\sqrt{\rho}\right)}{\sqrt{\rho}} }.$ Este nuevo término a veces se denomina "potencial cuántico". Tenga en cuenta que en el límite

ℏ \to 0

$\hbar \to 0$ , desaparece y recuperamos la física clásica.

¿La conexión con la ecuación de Schroedinger? Simplemente defina $\Psi(\boldsymbol x,t) = \sqrt{\rho} e^{i S/\hbar}$ y puedes comprobar que esto obedece a la ecuación de Schroedinger. Esta formulación de la mecánica cuántica también es bastante útil para generar aproximaciones semiclásicas. En caso de que tenga curiosidad cuál es el caso especial $\rho(\boldsymbol x,t) = \delta(\boldsymbol x - \boldsymbol x(t))$ corresponde a en esta configuración: describen los caminos de las ''variables ocultas'' de la representación de de Broglie-Bohm / onda piloto de la mecánica cuántica.

Ciro Santilli OurBigBook.com · Answer 12

Ejemplo explícito de la ecuación de Schrödinger "sin" números complejos

Solo para dar una ecuación completamente explícita del caso de una partícula en base a la posición formulada solo con números reales (pero dos funciones de onda en lugar de una $\Psi_{real}$ y $\Psi_{img}$ ):

\begin{aligned} - \frac{\partial Ψ_{i metro gramo} (t, X, y, z)}{\partial t} & = - \frac{\partial^{2} Ψ_{r mi a yo} (t, X, y, z)}{\partial^{2} X} - \frac{\partial^{2} Ψ_{r mi a yo} (t, X, y, z)}{\partial^{2} y} - \frac{\partial^{2} Ψ_{r mi a yo} (t, X, y, z)}{\partial^{2} z} \\ + V (t, X, y, z) Ψ_{r mi a yo} (t, X, y, z) \end{aligned}

$\begin{align} - \frac{\partial \Psi_{img}(t, x, y, z)}{\partial t} &= -\frac{\partial^2 \Psi_{real}(t, x, y, z)}{\partial^2 x} -\frac{\partial^2 \Psi_{real}(t, x, y, z)}{\partial^2 y} -\frac{\partial^2 \Psi_{real}(t, x, y, z)}{\partial^2 z} \\ &+ V(t, x, y, z) \Psi_{real}(t, x, y, z) \end{align}$

\begin{aligned} \frac{\partial Ψ_{r mi a yo} (t, X, y, z)}{\partial t} & = - \frac{\partial^{2} Ψ_{i metro gramo} (t, X, y, z)}{\partial^{2} X} - \frac{\partial^{2} Ψ_{i metro gramo} (t, X, y, z)}{\partial^{2} y} - \frac{\partial^{2} Ψ_{i metro gramo} (t, X, y, z)}{\partial^{2} z} \\ + V (t, X, y, z) Ψ_{i metro gramo} (t, X, y, z) \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial \Psi_{real}(t, x, y, z)}{\partial t} &= -\frac{\partial^2 \Psi_{img}(t, x, y, z)}{\partial^2 x} -\frac{\partial^2 \Psi_{img}(t, x, y, z)}{\partial^2 y} -\frac{\partial^2 \Psi_{img}(t, x, y, z)}{\partial^2 z} \\ &+V(t, x, y, z) \Psi_{img}(t, x, y, z) \\ \end{align}$

dónde $\Psi_{real}$ y $\Psi_{img}$ ambas son funciones de valor real $\mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}$ y representan, por supuesto, las partes reales e imaginarias separadas de la ecuación de Schrödinger equivalente más estándar:

i \frac{\partial Ψ (t, X, y, z)}{\partial t} = - \nabla^{2} Ψ (t, X, y, z) + V (t, X, y, z) Ψ (t, X, y, z)

$i \frac{\partial \Psi(t, x, y, z)}{\partial t} = -\nabla^2 \Psi(t, x, y, z) + V(t, x, y, z)\Psi(t, x, y, z)$

Tenga en cuenta que la equivalencia se cumple porque el potencial $V$ debe ser de valor real, de lo contrario no se observa la conservación de la probabilidad .

Si bien no tengo razones filosóficas súper profundas de por qué aparece el número imaginario (¿quizás la "deducción" intuitiva de alto nivel de la ecuación proporcione las mejores pistas?), la forma explícita del número real me aclara la siguiente idea :

la PDE con la que estamos tratando es en realidad un sistema de PDE con dos ecuaciones y dos funciones desconocidas
aunque la ecuación original parece una ecuación de calor debido a la derivada temporal de primer orden, sabemos que la ecuación de Schrödinger exhibe un comportamiento oscilatorio similar a una onda, que se parece más a la ecuación de onda

Con la forma real explícita, esto se vuelve mucho más creíble, porque $\partial \Psi_{img}/\partial t$ tipo de depende de $\Psi_{real}$ , y a la vez $\partial \Psi_{real}/\partial t$ tipo de depende de $\partial \Psi_{img}$ . Entonces, por "analogía" con la reducción a un sistema de primer orden en ODE, esto parece efectivamente una segunda derivada.

Si por un momento nos olvidamos de la parte laplaciana y tomamos un potencial constante, tenemos un sistema superclásico lineal de primer orden de EDO que puede tener soluciones sen/cos/exp .

Finalmente, si estuviera tratando de resolver la ecuación numéricamente, entonces probablemente elegiría la forma real explícita, ya que en realidad no hay operaciones intrínsecamente complejas que deban realizarse. En cierto sentido, los números complejos de la ecuación de Schrödinger se pueden dividir por completo en dos ecuaciones reales/imaginarias separadas sin problema, ya que no hay que lidiar con nada tan complicado como una diferenciación compleja .

$\Psi=a+bi$ , asi que $i\left(\frac{\partial{a}}{\partial{t}}+i\frac{\partial{b}}{\partial{t}}\right)=-\left(\frac{\partial^2a}{\partial{x^2}}+i\frac{\partial^2b}{\partial{x^2}}\right)+V(a+bi)$ , asi que $i\left(i\frac{\partial{b}}{\partial{t}}\right)=-\frac{\partial^2a}{\partial{x^2}}+Va$ y $i\frac{\partial{a}}{\partial{t}}=-i\frac{\partial^2b}{\partial{x^2}}+iVb$ , asi que $-\frac{\partial{b}}{\partial{t}}=-\frac{\partial^2a}{\partial{x^2}}+Va$ , y $\frac{\partial{a}}{\partial{t}}=-\frac{\partial^2b}{\partial{x^2}}+Vb$
Utilicé ecuaciones para una partícula en una dimensión del espacio, pero descubrí que obtuve una respuesta diferente de usted, entonces, ¿cuál de nosotros está en lo correcto?
@AndersGustafson gracias por señalar esto, las señales estaban equivocadas. ¿Puedes comprobar que coinciden ahora?

Cristóbal · Answer 13

Actualización: esta respuesta ha sido reemplazada por mi segunda . Lo dejaré como está por ahora, ya que es más concreto en algunos lugares. Si un moderador cree que debería eliminarse, no dude en hacerlo.

No conozco ninguna respuesta simple a su pregunta; cualquier respuesta simple que haya encontrado hasta ahora no fue realmente convincente.

Tome la ecuación de Schrödinger, que contiene explícitamente la unidad imaginaria. Sin embargo, si escribe la función de onda en forma polar, llegará a un sistema (en su mayoría) equivalente de dos ecuaciones reales: la ecuación de continuidad junto con otra que se parece notablemente a una ecuación de Hamilton-Jacobi.

Luego está el argumento de que el conmutador de dos observables es antihermitiano. Sin embargo, los observables forman un álgebra de Lie real con soporte $-i[\cdot,\cdot]$ , que Dirac llama corchete cuántico de Poisson.

Todos los valores esperados son, por supuesto, reales, y cualquier estado $\psi$ se puede caracterizar por la función de valor real

{PAGS}_{ψ} (\cdot) = | ⟨ ψ, \cdot ⟩ |^{2}

$P_\psi(·) = |\langle \psi,·\rangle|^2$

Por ejemplo, el qubit sí tiene una descripción real, pero no sé si esto se puede generalizar a otros sistemas cuánticos.

Solía creer que necesitamos espacios de Hilbert complejos para obtener una caracterización única de los operadores en su álgebra observable por sus valores esperados.

En particular,

⟨ ψ, A ψ ⟩ = ⟨ ψ, B ψ ⟩ \forall ψ \Rightarrow A = B

$\langle\psi,A\psi\rangle = \langle\psi,B\psi\rangle \;\;\forall\psi \Rightarrow A=B$ solo es válido para espacios vectoriales complejos.

Por supuesto, luego impone la restricción adicional de que los valores esperados deben ser reales y, por lo tanto, terminan con operadores autoadjuntos.

Para espacios vectoriales reales, este último se cumple automáticamente. Sin embargo, si impone la primera condición, terminará con operadores autoadjuntos también; si sus condiciones son valores esperados reales y una representación única de observables, no hay necesidad de preferir los espacios complejos a los reales.

El argumento más convincente que he escuchado hasta ahora es que la superposición lineal de estados cuánticos no solo depende del cociente de los valores absolutos de los coeficientes $|α|/|β|$ , sino también su diferencia de fase $\arg(α) - \arg(β)$ .

Actualización: hay otro argumento geométrico con el que me encontré recientemente y que me pareció razonablemente convincente: la descripción de los estados cuánticos como vectores en un espacio de Hilbert es redundante; necesitamos ir al espacio proyectivo para deshacernos de esta libertad de medida. Las partes real e imaginaria del producto hermitiano inducen una estructura métrica y simpléctica en el espacio proyectivo; de hecho, los espacios proyectivos complejos de Hilbert son variedades de Kähler . Mientras que la estructura métrica es responsable de las probabilidades , la simpléctica proporciona la dinámica a través de las ecuaciones de Hamilton. Debido a la propiedad 2-de-3 , requerir que las estructuras métricas y simplécticas sean compatibles nos dará una estructura casi compleja de forma gratuita.

No necesitas la forma polar, solo toma las partes real e imaginaria.
Lo más convincente que he escuchado hasta ahora es que, dado que hay "ondas" en QM, la formulación de números complejos resulta ser conveniente y eficiente.

Lanza · Answer 14

Solo para aclarar, parece que puedes .

Hoy en día, los números complejos todavía se enseñan en las universidades y algunos todavía los defienden. Persisten en la física y la ingeniería donde están involucradas las ondas sinusoidales o el movimiento, aunque incluso aquí (casi) siempre hay un enfoque alternativo publicado que está libre de números imaginarios.

Un área famosa de la física donde los métodos complejos todavía tienen un dominio virtual es la mecánica cuántica. Aunque existen alternativas de vectores, no se promueven con fuerza en la actualidad y el enfoque dominante es el uso de números imaginarios. Algunos incluso afirman que esto es esencial, pero esto no puede ser cierto. Hamilton demostró, hace mucho tiempo, que se puede definir un sistema de álgebra con el mismo comportamiento exterior que carece de referencias a $𝑖$ .

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