¿Sobre la naturaleza compleja de la función de onda?

Question

¿Sobre la naturaleza compleja de la función de onda?

Física
Función-de-onda
Mecánica-cuántica
Números-complejos

yayu

1)

¿Por qué es compleja la función de onda? He recopilado algunas explicaciones laicas, pero son incompletas e insatisfactorias. Sin embargo, en el libro de Merzbacher en las pocas páginas iniciales, proporciona una explicación con la que necesito ayuda: que la longitud de onda de De Broglie y la longitud de onda de una onda elástica no muestran propiedades similares bajo una transformación galileana. Básicamente dice que ambos son equivalentes bajo una transformación de calibre y también, por separado, por las transformaciones de Lorentz. Esto, acompañado de la observación de que $ψ$ $ψ$ $ψ$ no es observable, por lo que no hay "razón para que sea real". ¿Puede alguien darme un preludio intuitivo por lo que es una transformación de indicador y por qué da el mismo resultado que una transformación de Lorentz en un entorno no relativista? Y, finalmente, cómo en este "gran esquema" se hace evidente la naturaleza compleja de la función de onda ... de una manera que un muñeco como yo puede entender.

2)

Una función de onda se puede considerar como un campo escalar (tiene un valor escalar en cada punto ( $r, t$ $r, t$ $r, t$ ) dada por $ψ : R^{3} \times R \to C$ $ψ : R^{3} \times R \to C$ $ψ : R^{3} \times R \to C$ $ψ : R^{3} \times R \to C$ $ψ : R^{3} \times R \to C$ $ψ : R^{3} \times R \to C$ $ψ : R^{3} \times R \to C$ y también como un rayo en el espacio de Hilbert (un vector). ¿Cómo son estas dos perspectivas iguales? Esto es posiblemente algo elemental que me estoy perdiendo, o confundido por las definiciones y la terminología, si ese es el caso, estoy desesperado por ayuda;)

3)

Una forma en que he pensado sobre la pregunta anterior es que la función de onda se puede escribir de manera equivalente en $ψ : R^{3} \times R \to R^{2}$ $ψ : R^{3} \times R \to R^{2}$ $ψ : R^{3} \times R \to R^{2}$ $ψ : R^{3} \times R \to R^{2}$ $ψ : R^{3} \times R \to R^{2}$ $ψ : R^{3} \times R \to R^{2}$ $ψ : R^{3} \times R \to R^{2}$ $ψ : R^{3} \times R \to R^{2}$ $ψ : R^{3} \times R \to R^{2}$ es decir, dado que una función de onda es compleja, la ecuación de Schroedinger podría, en principio, escribirse de manera equivalente como ecuaciones diferenciales acopladas en dos funciones reales que cumplen las condiciones de Cauchy-Riemann. es decir, si

ψ (X, t) = tu (X, t) + yo v (X, t)

y

u_{x} = v_{t}

u_{x} = v_{t}

u_{x} = v_{t}

u_{x} = v_{t}

u_{x} = v_{t}

u_{x} = v_{t}

u_{x} = v_{t}

u_{x} = v_{t}

{tu}_{X} = v_{t}

;

u_{t} = - v_{x}

u_{t} = - v_{x}

u_{t} = - v_{x}

u_{t} = - v_{x}

u_{t} = - v_{x}

u_{t} = - v_{x}

u_{t} = - v_{x}

u_{t} = - v_{x}

{tu}_{t} = - v_{X}

y obtenemos

ℏ \partial_{t} tu = - \frac{ℏ^{2}}{2 metro} \partial_{X}^{2} v + V v

ℏ \partial_{t} v = \frac{ℏ^{2}}{2 metro} \partial_{X}^{2} tu - V tu

(..en 1-D) Si esto es correcto, ¿cuáles son las interpretaciones de la

u, v

u, v

tu, v

.. y por qué no es útil. (Supongo que los problemas físicos siempre tienen un análisis

ψ (r, t)

ψ (r, t)

ψ (r, t)

)

Peter Morgan

Hola yayu Siempre me ha parecido interesante un artículo de Leon Cohen, "Reglas de probabilidad en la mecánica cuántica", Fundamentos de física 18 , 983 (1988), que aborda esta cuestión de forma un tanto lateral, a través de funciones características. Cohen proviene de un entorno de procesamiento de señales, donde las transformadas de Fourier son a menudo algo natural. Las transformadas de Fourier y los números complejos, por supuesto, están bastante unidos en la cadera.

Ben Crowell

Aquí hay algunas observaciones directas que pueden ser útiles. (1) Puede describir las ondas estacionarias con funciones de onda de valor real, por ejemplo, uno casi siempre puede salirse con la suya en la física de estructuras nucleares de baja energía. (2) La wf de un fotón es simplemente los campos eléctricos y magnéticos. Estos son observables y de valor real. (3) Si el electrón wf fuera real y observable, la longitud de onda tendría que ser invariable bajo un impulso galileano, lo que violaría la relación de De Broglie. (4) Incluso para las ondas de valor real, los operadores son complejos, por ejemplo, el impulso en la región clásica prohibida.

Timeo

@yayu Una función analítica compleja es una función de números complejos a números complejos. Y las ecuaciones de Cauchy-Riemann tratan sobre tales funciones. Escoger x y t como si el eje t fuera un eje imaginario y el eje x fuera un eje real e y y z no existieran es muy confuso.

Lincoln

"Tl; DR: los números imaginarios describen la fase de un objeto cuántico". Entonces, ¿el significado físico de los números imaginarios indica las partículas virtuales con una probabilidad particular?

valerio

Relacionado: physics.stackexchange.com/q/32422

Respuestas (13)

¿Sobre la naturaleza compleja de la función de onda?

Hola yayu Siempre me ha parecido interesante un artículo de Leon Cohen, "Reglas de probabilidad en la mecánica cuántica", Fundamentos de física 18 , 983 (1988), que aborda esta cuestión de forma un tanto lateral, a través de funciones características. Cohen proviene de un entorno de procesamiento de señales, donde las transformadas de Fourier son a menudo algo natural. Las transformadas de Fourier y los números complejos, por supuesto, están bastante unidos en la cadera.
Aquí hay algunas observaciones directas que pueden ser útiles. (1) Puede describir las ondas estacionarias con funciones de onda de valor real, por ejemplo, uno casi siempre puede salirse con la suya en la física de estructuras nucleares de baja energía. (2) La wf de un fotón es simplemente los campos eléctricos y magnéticos. Estos son observables y de valor real. (3) Si el electrón wf fuera real y observable, la longitud de onda tendría que ser invariable bajo un impulso galileano, lo que violaría la relación de De Broglie. (4) Incluso para las ondas de valor real, los operadores son complejos, por ejemplo, el impulso en la región clásica prohibida.
@yayu Una función analítica compleja es una función de números complejos a números complejos. Y las ecuaciones de Cauchy-Riemann tratan sobre tales funciones. Escoger x y t como si el eje t fuera un eje imaginario y el eje x fuera un eje real e y y z no existieran es muy confuso.
"Tl; DR: los números imaginarios describen la fase de un objeto cuántico". Entonces, ¿el significado físico de los números imaginarios indica las partículas virtuales con una probabilidad particular?

Jerry Schirmer · Answer 1

Más físicamente que muchas de las otras respuestas aquí (muchas de las cuales equivalen a "el formalismo de la mecánica cuántica tiene números complejos, por lo que la mecánica cuántica debería tener números complejos), puede explicar la naturaleza compleja de la función de onda escribiéndola como $Ψ (x) = | Ψ (x) | e^{i ϕ (x)}$ $Ψ (x) = | Ψ (x) | e^{i ϕ (x)}$ $Ψ (x) = | Ψ (x) | e^{i ϕ (x)}$ $Ψ (x) = | Ψ (x) | e^{i ϕ (x)}$ $Ψ (x) = | Ψ (x) | e^{i ϕ (x)}$ $Ψ (x) = | Ψ (x) | e^{i ϕ (x)}$ $Ψ (X) = El | Ψ (X) El | {mi}^{yo ϕ (X)}$ , dónde $i ϕ$ $i ϕ$ $yo ϕ$ Es un factor de fase complejo. Resulta que este factor de fase no es directamente medible, pero tiene muchas consecuencias medibles, como el experimento de doble rendija y el efecto Aharonov-Bohm .

¿Por qué los números complejos son esenciales para explicar estas cosas? Porque necesita una representación que no induzca dependencias no físicas de tiempo y espacio en la magnitud de $| Ψ (x) |^{2}$ $| Ψ (x) |^{2}$ $| Ψ (x) |^{2}$ $| Ψ (x) |^{2}$ $| Ψ (x) |^{2}$ $El | Ψ (X) {El |}^{2}$ (como lo haría la multiplicación por fases reales), Y eso PERMITE efectos de interferencia como los citados anteriormente. La forma más natural de hacerlo es multiplicar la amplitud de onda por una fase compleja.

¿Hay alguna onda o vibración que no pueda / deba describirse con formalismo numérico complejo?
Pero, ¿cuáles son las diferencias entre las ondas de sonido y la función de onda? ¿Por qué el segundo debe ser complejo, mientras que el primero también puede interferir? Y podemos escribir nuestra función de onda a través de senos y cosenos, por lo que el valor $ψ^{T} ψ$ $ψ^{T} ψ$ $ψ^{T} ψ$ $ψ^{T} ψ$ $ψ^{T} ψ$ $ψ^{T} ψ$ $ψ^{T} ψ$ También se refiere a la invariante en este caso.
@AndrewMcAddams: la diferencia es que la amplitud de una onda de sonido es observable, mientras que solo la amplitud del módulo al cuadrado es observable en la mecánica cuántica. Puedo ver la fase de una onda de agua, pero solo puedo ver la fase de una onda de electrones a través de los efectos de interferencia.
Esta es la explicación más concisa y fácil de entender que he leído sobre 'por qué'. Gracias. Muchos libros de texto sobre mecánica cuántica no comunican este hecho.
@docscience: por supuesto que no; después de todo, ni siquiera necesita números complejos para hacer los cálculos de números complejos. Es solo una manera agradable y fácil de hacerlos. Y la gente ha tratado de reformular la mecánica cuántica utilizando cuartones, pero no sé hasta dónde han llegado realmente, eso está fuera de mi campo de especialización.

pcr · Answer 2

Discusión alternativa por Scott Aaronson: http://www.scottaaronson.com/democritus/lec9.html

Del postulado de interpretación de probabilidad, concluimos que el operador de evolución del tiempo $\hat{U} (t)$ $\hat{U} (t)$ $\hat{U} (t)$ $\hat{U} (t)$ $\hat{U} (t)$ $\hat{U} (t)$ $\hat{U} (t)$ debe ser unitario para mantener la probabilidad total de ser 1 todo el tiempo. Tenga en cuenta que la función de onda aún no es necesariamente compleja.
Del sitio web: "¿Por qué Dios eligió los números complejos y no los números reales? Respuesta: Bueno, si desea que cada operación unitaria tenga una raíz cuadrada, entonces debe ir a los números complejos ..." $\hat{U} (t)$ $\hat{U} (t)$ $\hat{U} (t)$ $\hat{U} (t)$ $\hat{U} (t)$ $\hat{U} (t)$ $\hat{U} (t)$ debe ser complejo si aún queremos una transformación continua. Esto implica una función de onda compleja.

Por lo tanto, el operador debe ser: $\hat{U} (t) = e^{i \hat{K} t}$ $\hat{U} (t) = e^{i \hat{K} t}$ $\hat{U} (t) = e^{i \hat{K} t}$ $\hat{U} (t) = e^{i \hat{K} t}$ $\hat{U} (t) = e^{i \hat{K} t}$ $\hat{U} (t) = e^{i \hat{K} t}$ $\hat{U} (t) = e^{i \hat{K} t}$ $\hat{U} (t) = e^{i \hat{K} t}$ $\hat{U} (t) = e^{i \hat{K} t}$ $\hat{U} (t) = e^{i \hat{K} t}$ $\hat{U} (t) = e^{i \hat{K} t}$ $\hat{U} (t) = e^{i \hat{K} t}$ $\hat{U} (t) = {mi}^{yo \hat{K} t}$ para ermitaño $\hat{K}$ $\hat{K}$ $\hat{K}$ $\hat{K}$ $\hat{K}$ para preservar la norma de la función de onda.

Personalmente, prefiero la respuesta de Jerry Schirmer porque requiere menos postulado y en su lugar utiliza hechos experimentales directamente. =)
Me gusta mucho tu respuesta, tanto como la de Jerry. Pero agregaría dos cosas: en primer lugar, la cosa de la raíz cuadrada es un poco obtusa: lo pondría de la siguiente manera para aquellos como yo que son un poco lentos en la absorción: ... (ctd) ...
"Todos los valores propios de operadores unitarios tienen magnitud unitaria. Por lo tanto, el único operador unitario no trivial con todos los valores propios reales es uno con una mezcla de + 1s y -1s como valores propios- digamos $M$ $M$ $METRO$ -De lo contrario, es el operador de identidad $I$ $I$ $yo$ . Ya que $U (t)$ $U (t)$ $U (t)$ $U (t)$ $U (t)$ y sus valores propios varían continuamente, $U (t)$ $U (t)$ $U (t)$ $U (t)$ $U (t)$ no puedo alcanzar $M$ $M$ $METRO$ desde su valor inicial $U (0) = I$ $U (0) = I$ $U (0) = I$ $U (0) = I$ $U (0 0) = yo$ a menos que al menos un valor propio pase por todos los valores en el semicírculo de la unidad para alcanzar el valor -1 ". ... (ctd) ...
En segundo lugar, el argumento no funcionará tal como es: hay grupos unitarios no triviales, valorados en matrices reales. $S O (N)$ $S O (N)$ $S O (N)$ $S O (N)$ $S O (norte)$ (cuyos miembros tienen valores propios complejos pero que, sin embargo, son matrices reales) que realizarán el $U (t) = \exp (i K t)$ $U (t) = \exp (i K t)$ $U (t) = \exp (i K t)$ $U (t) = \exp (i K t)$ $U (t) = \exp (i K t)$ $U (t) = \exp (i K t)$ $U (t) = \exp (i K t)$ $U (t) = \exp (i K t)$ $U (t) = \exp (i K t)$ $U (t) = \exp (i K t)$ $U (t) = Exp (yo K t)$ en su argumento, por lo que los estados cuánticos aún pueden ser todas las funciones de onda reales si son reales en $t = 0$ $t = 0$ $t = 0 0$ . No tengo una solución para esto, tal vez podrías recurrir a un experimento. Sin embargo, es un argumento bonito, así que seguiré pensando.

Terry Bollinger · Answer 3

Esta pregunta de un año apareció inesperadamente cuando ingresé, y es interesante. Así que supongo que está bien solo agregar una "respuesta de adición" a nivel de intuición a las excelentes y mucho más completas respuestas proporcionadas hace mucho tiempo.

Su pregunta del núcleo parece ser la siguiente: "¿Por qué es compleja la función de onda?"

Mi respuesta intencionalmente informal es esta:

Porque por observación experimental, el comportamiento cuántico de una partícula se parece mucho más al de una cuerda giratoria (por ejemplo, una cuerda de saltar) que a una cuerda que solo se mueve hacia arriba y hacia abajo.

Si cada punto de una cuerda marca un círculo a medida que se mueve, entonces una forma muy natural y económica de representar cada punto a lo largo de la cuerda es como una magnitud compleja. Ciertamente no tienes que hacerlo de esa manera, por supuesto. De hecho, el uso de coordenadas polares probablemente sería un poco más sencillo.

Sin embargo, lo ingenioso de los números complejos es que proporcionan una manera simple y computacionalmente eficiente de representar un sistema de coordenadas polares. Puede entrar en detalles sangrientos, detalles matemáticos de por qué, pero es suficiente decir que cuando los primeros físicos comenzaron a usar números complejos para ese propósito, sus beneficios continuaron incluso cuando los problemas se volvieron mucho más complejos. En mecánica cuántica, sus beneficios se volvieron tan abrumadores que los números complejos comenzaron a ser aceptados como la "realidad" de cómo representar tales matemáticas.

Esa fusión conceptual de cantidades complejas con la física real puede alterar un poco sus intuiciones. Por ejemplo, si observa la cuerda de saltar en movimiento, no hay distinción entre los ejes "real" e "imaginario" en las rotaciones reales de cada punto de la cuerda. Lo mismo es cierto para las representaciones cuánticas: lo que cuenta es la fase y la amplitud, y otras distinciones entre los ejes del plano de fase son el resultado de cómo usas esas fases dentro de construcciones matemáticas más complicadas.

Entonces, si las funciones de onda cuántica se comportan solo como cuerdas que se mueven hacia arriba y hacia abajo a lo largo de un solo eje, usaríamos funciones reales para representarlas. Pero ellos no. Dado que, en cambio, son más como esas cuerdas de saltar, es mucho más fácil representar cada punto a lo largo de la cuerda con dos valores, uno "real" y uno "imaginario" (y ninguno en el espacio real XYZ) por su valor.

Finalmente, ¿por qué afirmo que una sola partícula cuántica tiene una función de onda que se asemeja a la de una cuerda de saltar en movimiento? El ejemplo clásico es el problema de la partícula en una caja , donde una sola partícula rebota hacia adelante y hacia atrás entre los dos extremos del eje X de la caja. Dicha partícula forma una, dos, tres o más regiones (o antinodos) en las que es más probable que se encuentre la partícula.

Si toma prestado Y y Z (perpendicular a la longitud de la caja) para representar las amplitudes reales e imaginarias de la función de onda de partículas en cada punto a lo largo de X , es interesante ver lo que obtiene. Se ve exactamente como una cuerda de saltar en acción, una en la que las regiones donde es más probable que se encuentre el electrón corresponden uno por uno a uno, dos, tres o más bucles de la cuerda de saltar en movimiento. (Los skip-ropers elegantes saben todo sobre un mayor número de bucles).

La analogía no termina ahí. El volumen encerrado por todos los bucles, normalizado a 1, le dice exactamente cuáles son las probabilidades de encontrar el electrón a lo largo de cualquier sección a lo largo de la caja en el eje X. La tunelización está representada por el electrón que aparece en ambos lados de los nodos inmóviles de la cuerda, esos nodos son regiones donde no hay posibilidad de encontrar el electrón. La continuidad de la cuerda de un punto a otro captura una aproximación aproximada de las ecuaciones diferenciales que asignan altos costos de energía a curvas pronunciadas en la cuerda. La velocidad de rotación absoluta de la cuerda representa la masa-energía total del electrón, o al menos se puede usar de esa manera.

Finalmente, y un poco más complicado, puede dividir esos bucles simples en otros componentes de onda utilizando la transformación de Fourier. Cualquier aspecto simple también se puede ver como dos ondas helicoidales (como girar una manguera para liberarla) que van en direcciones opuestas. Estos dos componentes representan la idea de que una función de onda de bucle simple en realidad incluye representaciones helicoidales del mismo electrón que van en direcciones opuestas , al mismo tiempo. "Al mismo tiempo" es altamente característico de la función cuántica en general, ya que tales funciones siempre contienen múltiples "versiones" de la ubicación y los movimientos de la partícula individual que representan. Eso es realmente lo que es una función de onda, de hecho: una suma de las ondas simples que representan cada ubicación probable y situación de impulso en la que podría estar la partícula.

La mecánica cuántica completa es mucho más compleja que eso, por supuesto. Debe trabajar en tres dimensiones espaciales, por un lado, y debe lidiar con las probabilidades compuestas de muchas partículas que interactúan. Eso lo lleva a utilizar conceptos más abstractos como los espacios de Hilbert .

Pero con respecto a la pregunta "¿por qué complejo en lugar de real?", El simple ejemplo de la similitud de las funciones cuánticas con las cuerdas giratorias sigue siendo válida: todos estos casos más complicados son complejos porque, en el fondo, cada punto dentro de ellos se comporta como si estuviera girando en un espacio abstracto, de una manera que lo mantiene sincronizado con puntos en puntos inmediatamente vecinos en el espacio.

Rod, si. Se puede hacer un truco similar para los cuaterniones. En realidad, soy un fanático del quaternion: me gusta pensar que muchos de los números complejos utilizados en física son realmente quaternions demasiado generalizados, en los que nuestro sesgo 3D incorporado nos impide notar que el eje imaginario de un número complejo es en realidad solo un puntero de unidad de cuaternión en el espacio XYZ. Al hacerlo, pierde mucha riqueza de representación, ya que, por ejemplo, abandona inadvertidamente la opción intrigante de tratar los cambios en la orientación de la vista de cuaternión como una simetría local del espacio XYZ.
Aunque supongo que desde el punto de vista de los OP, sería un error llamarlo un truco: hay muchas formas de codificar los tipos de propiedades que hacen los números complejos y éste es un número complejo (un campo isomorfo). En cuanto a los cuaterniones, sí, es una pena que Hamilton, Clifford y Maxwell nunca hayan tenido influencia sobre Heaviside.
¿Estás diciendo que una función de onda es compleja porque es básicamente como la luz polarizada circular?
Sí, excepto que para la luz polarizada circular que viaja a lo largo de Z, la rotación tiene lugar en el plano XY real perpendicular a Z. En una función de onda cuántica, el movimiento circular está en un plano complejo separado que no corresponde a ninguna de las direcciones XYZ ordinarias .

Luboš Motl · Answer 4

Entre otras cosas, el OP reimprimió una página de un libro de texto, preguntando de qué se trata. Creo que es imposible responder a este tipo de preguntas porque el problema del OP no está totalmente determinado, y las personas que ofrecen sus respuestas podrían estar escribiendo sus propios libros de texto, sin resultados.

La función de onda en la mecánica cuántica tiene que ser compleja porque los operadores satisfacen cosas como

[X, pag] = X pag - pag X = yo ℏ .

Es el conmutador el que define el principio de incertidumbre. Debido a que el lado izquierdo es anti-ermitaño,

(X pag - pag X)^{†} = {pag}^{†} X^{†} - X^{†} {pag}^{†} = (pag X - X pag) = - (X pag - pag X),

se deduce que si es un

c

c

C

-número, sus valores propios tienen que ser puramente imaginarios. De ello se deduce que

x

x

X

o

p

p

pag

o ambos deben tener algunos elementos de matriz no reales.

Además, la ecuación de Schrödinger

yo ℏ re / / re t El | ψ ⟩ = H El | ψ ⟩

tiene un factor de

i

i

yo

en eso. El equivalente

i

i

yo

aparece en las ecuaciones de Heisenberg para los operadores y en el

\exp (i S / ℏ)

\exp (i S / ℏ)

\exp (i S / ℏ)

\exp (i S / ℏ)

\exp (i S / ℏ)

\exp (i S / ℏ)

\exp (i S / ℏ)

\exp (i S / ℏ)

Exp (yo S / / ℏ)

integrando del camino de Feynman integral. Entonces las amplitudes inevitablemente tienen que salir como números complejos. Eso también está relacionado con el hecho de que los estados propios de energía y momentos, etc., dependen del espacio o el tiempo, etc.

Exp (mi t / / yo ℏ)

que es complejo Un coseno no sería suficiente porque un coseno es una función par (y el seno es una función extraña), por lo que no podría distinguir el signo de la energía. Por supuesto, la aparición de

i

i

yo

en la fase está relacionado con el conmutador al comienzo de esta respuesta. Ver también

http://motls.blogspot.com/2010/08/why-complex-numbers-are-fundamental-in.html
Por qué los números complejos son fundamentales en física

Con respecto a la segunda pregunta, en la jerga de física, elegimos enfatizar que una función de onda no es un campo escalar. Una función de onda no es observable en absoluto mientras que un campo lo es. Clásicamente, los campos evolucionan de manera determinista y se pueden medir con una sola medición, pero la función de onda no se puede medir. Los campos cuánticos son operadores, pero la función de onda no lo es. Además, la similitud matemática de una función de onda con un campo escalar en dimensiones 3 + 1 solo es válida para la descripción de una partícula sin espinas, no para sistemas más complicados.

Con respecto a la última pregunta, no es útil descomponer números complejos en partes reales e imaginarias exactamente porque "un número complejo" es un número y no dos números. En particular, si multiplicamos una función de onda por una fase compleja $\exp (i ϕ)$ $\exp (i ϕ)$ $\exp (i ϕ)$ $\exp (i ϕ)$ $Exp (yo ϕ)$ , que solo es posible si permitimos que las funciones de onda sean complejas y usamos la multiplicación de números complejos, la física no cambia en absoluto. El objetivo de los números complejos es tratarlos como si fueran una sola entidad.

gracias por responder. Tengo una pregunta, sin saber aún sobre las integrales de ruta de Feynman, supongo que lo que estás diciendo es lo mismo que: si hacemos la transformación $ψ (r, t) = e^{i \frac{S (r, t)}{ℏ}}$ $ψ (r, t) = e^{i \frac{S (r, t)}{ℏ}}$ $ψ (r, t) = e^{i \frac{S (r, t)}{ℏ}}$ $ψ (r, t) = e^{i \frac{S (r, t)}{ℏ}}$ $ψ (r, t) = e^{i \frac{S (r, t)}{ℏ}}$ $ψ (r, t) = e^{i \frac{S (r, t)}{ℏ}}$ $ψ (r, t) = e^{i \frac{S (r, t)}{ℏ}}$ $ψ (r, t) = e^{i \frac{S (r, t)}{ℏ}}$ $ψ (r, t) = {mi}^{yo \frac{S (r, t)}{ℏ}}$ entonces la ecuación de Schrodinger se reduce a las ecuaciones clásicas de hamilton Jacobi (si los términos contienen $i$ $i$ $yo$ y $ℏ$ $ℏ$ $ℏ$ fueron insignificantes)?
Estimado yayu, gracias por tu pregunta. Primero, la aparición de $\exp (i S / ℏ)$ $\exp (i S / ℏ)$ $\exp (i S / ℏ)$ $\exp (i S / ℏ)$ $\exp (i S / ℏ)$ $\exp (i S / ℏ)$ $\exp (i S / ℏ)$ $\exp (i S / ℏ)$ $Exp (yo S / / ℏ)$ En el enfoque de Feynman no se trata de una transformación de variables: el exponencial es un integrando que aparece en una integral utilizada para calcular cualquier amplitud de transición. Segundo, $ψ$ $ψ$ $ψ$ es complejo y $S$ $S$ $S$ es real, entonces $ψ = \exp (i S / ℏ)$ $ψ = \exp (i S / ℏ)$ $ψ = \exp (i S / ℏ)$ $ψ = \exp (i S / ℏ)$ $ψ = \exp (i S / ℏ)$ $ψ = \exp (i S / ℏ)$ $ψ = \exp (i S / ℏ)$ $ψ = \exp (i S / ℏ)$ $ψ = Exp (yo S / / ℏ)$ no puede ser un "cambio de variables". Puedes escribir $ψ = \sqrt{ρ} \exp (i S / ℏ)$ $ψ = \sqrt{ρ} \exp (i S / ℏ)$ $ψ = \sqrt{ρ} \exp (i S / ℏ)$ $ψ = \sqrt{ρ} \exp (i S / ℏ)$ $ψ = \sqrt{ρ} \exp (i S / ℏ)$ $ψ = \sqrt{ρ} \exp (i S / ℏ)$ $ψ = \sqrt{ρ} \exp (i S / ℏ)$ $ψ = \sqrt{ρ} \exp (i S / ℏ)$ $ψ = \sqrt{ρ} \exp (i S / ℏ)$ $ψ = \sqrt{ρ} \exp (i S / ℏ)$ $ψ = \sqrt{ρ} \exp (i S / ℏ)$ $ψ = \sqrt{ρ} \exp (i S / ℏ)$ $ψ = \sqrt{ρ} \exp (i S / ℏ)$ $ψ = \sqrt{ρ} \exp (i S / ℏ)$ $ψ = \sqrt{ρ} \exp (i S / ℏ)$ $ψ = \sqrt{ρ} \exp (i S / ℏ)$ $ψ = \sqrt{ρ} Exp (yo S / / ℏ)$ , en cuyo caso la ecuación de Schrödinger puede reescribirse (de forma no natural) como dos ecuaciones reales, una ecuación de continuidad para $ρ$ $ρ$ $ρ$ y la ecuación de Hamilton-Jacobi para $S$ $S$ $S$ con algunas correcciones cuánticas extra.
Edité mi pregunta eliminando las reimpresiones y tratando de exponer mi problema sin ellas. Sin embargo, tomará algún tiempo pensar en algunos puntos que ya hizo en la respuesta.
Creo que una mejor explicación no usaría la idea del formalismo del operador, ya que cuando Schrödinger propuso su ecuación, el formalismo aún no se había desarrollado.
Lo siento, pero Schrödinger solo llegó con su "mecánica de ondas" casi un año después de que Heisenberg descubriera la mecánica cuántica y sus amigos en forma de "mecánica de matrices". A pesar de los conceptos erróneos populares, Schrödinger ni siquiera es uno de los fundadores de la mecánica cuántica y nunca entendió correctamente el significado de la teoría.

Cayley · Answer 5

Si la función de onda fuera real, realizar una transformación de Fourier en el tiempo conduciría a pares de estados propios de energía positiva-negativa. Las energías negativas sin límites inferiores son incompatibles con la estabilidad. Por lo tanto, se necesitan funciones de onda complejas para la estabilidad.

No, la función de onda no es un campo. Solo lo parece para una sola partícula, pero para N partículas, es una función en el espacio de configuración dimensional 3N + 1.

Helder Velez · Answer 6

EDITAR agregar:
Mi respuesta está centrada en GA y después de los comentarios sentí la necesidad de decir algunas palabras sobre la belleza del álgebra geométrica:
En la 2da página de Oersted Medal Lecture (enlace abajo):

(3) GA Reduce "grad, div, curl y todo eso" a una sola derivada vectorial que, entre otras cosas, combina el conjunto estándar de cuatro ecuaciones de Maxwell en una sola ecuación y proporciona nuevos métodos para resolverlo.

El álgebra de geometría (GA) abarca en un solo marco para todo esto:
Geometría sintética, Geometría coordinada, Variables complejas, Cuaterniones, Análisis vectorial, Álgebra matricial, Spinors, Tensores, Formas diferenciales. Es un idioma para toda la física.
Probablemente Schrödinger, Dirac, Pauli, etc. habrían usado GA si existiera en ese momento.
A la pregunta: ¿POR QUÉ es compleja la función de onda? Esta respuesta no es útil: porque la función de onda es compleja (o tiene una i ). Tenemos que probar algo diferente, no escrito en su libro.
En los resúmenes destaqué la evidencia de que los documentos tratan sobre los POR QUÉ . Si alguien pide un pez, intentaré darle una caña de pescar.
Soy un viejo analista de TI que estaría desempleado si no hubiera evolucionado. La física también está evolucionando.
fin EDITAR

Recientemente encontré el Álgebra geométrica , Grassman, Clifford y David Hestenes.

No detallaré aquí el tema del OP porque cada uno de nosotros necesita seguir caminos, encontrar nuevas ideas y tomarse el tiempo para leer. Solo proporcionaré algunas rutas con parte de los resúmenes:

Descripción general del álgebra geométrica en física

Oersted Medal Lecture 2002: Reformando el lenguaje matemático de la física (un buen comienzo)

En esta conferencia, Hestenes aboga por una reforma de la forma en que las matemáticas se enseñan a los físicos. Afirma que el uso del álgebra geométrica facilitará la comprensión de los fundamentos de la física, porque el lenguaje matemático será más claro y uniforme.

Cazando Snarks en Mecánica Cuántica

Resumen. Un debate de larga data sobre la interpretación de la mecánica cuántica se ha centrado en el significado de la función de onda de Schroedinger ψ para un electrón. En términos generales, hay dos escuelas opuestas principales. Por un lado, la escuela de Copenhague (dirigida por Bohr, Heisenberg y Pauli) sostiene que ψ proporciona una descripción completa de un solo estado de electrones; por lo tanto, la interpretación de probabilidad de ψψ * expresa una incertidumbre irreducible en el comportamiento de los electrones que es de naturaleza intrínseca. Por otro lado, la escuela realista (dirigida por Einstein, de Broglie, Bohm y Jaynes) sostiene que ψ representa un conjunto estadístico de posibles estados de electrones; por lo tanto, es una descripción incompleta de un solo estado de electrones. Sostengo que los debatidores han pasado por alto hechos cruciales sobre el electrón revelados por la teoría de Dirac. En particular, el análisis de zitterbewegung de electrones (notado por primera vez por Schroedinger) abre una ventana a la subestructura de partículas en la mecánica cuántica que explica la importancia física del factor de fase complejo en ψ . Esto condujo a un modelo comprobable para la subestructura de partículas con un sorprendente respaldo de evidencia experimental reciente. Si la investigación es confirmada por investigaciones adicionales, resolverá el debate a favor de la escuela realista. Doy detalles. Lewis Carroll ha previsto los peligros de la investigación sobre los fundamentos de la mecánica cuántica en The Hunting of the Snark!

EL ORIGEN CINEMÁTICO DE LA FUNCIÓN DE ONDA COMPLEJA

Resumen. Una reformulación de la teoría de Dirac revela que i¯h tiene un significado geométrico que lo relaciona con el espín de electrones . Esto proporciona la base para una interpretación física coherente de las teorías de Dirac y Sch¨odinger en las que el factor de fase complejo exp (−iϕ / ¯h) en la función de onda describe electron zitterbewegung, un movimiento circular localizado que genera el giro electrónico y el momento magnético. . Las interacciones de Zitterbewegung también generan resonancias que pueden explicar la cuantización, la variación y el principio de Pauli.

Universal Geometric Calculus un curso, y sigue:
III. Implicaciones para la mecánica cuántica

El origen cinemático de las funciones de onda complejas
Álgebra de Clifford y la interpretación de la mecánica cuántica
La interpretación de Zitterbewegung de la mecánica cuántica
Mecánica Cuántica desde la Auto-Interacción
Zitterbewegung en procesos radiativos
Sobre la probabilidad de desacoplamiento de la cinemática en la mecánica cuántica
Modelado Zitterbewegung
Estructura espacio-temporal de interacciones débiles y electromagnéticas

para mantener más referencias juntas:
Álgebra Geométrica y su Aplicación a la Física Matemática (Tesis de Chris)

(Lo que me llevó a este sorprendente camino fue un artículo de Joy Christian ' Disproof of Bell Theorem ')
'Buen viaje', 'buen viaje', 'boa viagem'

@Helder Los votos negativos no son de mí, pero creo que su respuesta no responde mucho a la pregunta, por lo que creo que son justificables solo en ese aspecto. Más significativamente, citar a Hestenes es problemático a menos que sea muy específico sobre lo que le está quitando, en cuyo caso podría citar fácilmente a otra persona que no hace tales afirmaciones infladas. Demasiadas afirmaciones de Hestenes no son lo suficientemente justificables, y todas ellas deben leerse críticamente para encontrar lo que es interesante, lo que lleva mucho tiempo. Mantén tu ingenio sobre ti mientras sigues el camino de Hestenes.
@Helder; Tengo un gran respeto por el trabajo del Dr. Hestenes, envíeme un correo electrónico si desea hablar sobre ello. Su trabajo lee directamente sobre la naturaleza compleja de QM. Haré +1 en tu respuesta cuando recupere mis votos (siempre los uso).
@Helder Velez Soy uno de sus votantes negativos, ya que lo vi como una respuesta muy amplia con muchas referencias y resúmenes reproducidos que tienen poco que ver con el contexto específico en el que traté de formular mi pregunta. Además, no estoy interesado en el aspecto interpretativo de la mecánica cuántica en absoluto, en mi etapa.
@yayu; Las respuestas en Stack Exchange son leídas por algo más que la persona que pregunta. Spin-1/2 (y las matrices de spin Pauli) se cubrirán en cualquier introducción a QM; Es el espacio de Hilbert no trivial más simple posible. No se vuelve mucho más simple que eso. Pero en general, incluso si fuera adecuado solo para Albert Einstein, debe publicarse aquí. En SE, las preguntas duplicadas están cerradas. Esta es la única oportunidad de responder la pregunta para todos los lectores.

Len · Answer 7

Esta pregunta se ha hecho desde Dirac

De hecho, la respuesta de Dirac está disponible por $ 100 de JSTOR en un artículo de Dirac de Creo 1935?

Una respuesta reciente de James Wheeler es que la métrica de matanza con firma cero de una nueva medición de 8 dimensiones del grupo conforme conforma el carácter complejo de la mecánica cuántica.

La referencia es por qué la mecánica cuántica es compleja, James T. Wheeler ArXiv: hep-th9708088

Si bien esto puede responder teóricamente la pregunta, sería preferible incluir aquí las partes esenciales de la respuesta y proporcionar el enlace para referencia.

Carl Brannen · Answer 8

Según el Principio de incertidumbre de Heisenberg, si sabemos mucho sobre el impulso de una partícula, podemos saber muy poco sobre su posición. Esto sugiere que nuestras matemáticas deberían tener un estado cuántico que corresponda a una onda plana $ψ (x)$ $ψ (x)$ $ψ (X)$ con un impulso conocido con precisión, pero una posición completamente desconocida.

Una definición natural de la probabilidad de encontrar la partícula en la posición. $x$ $x$ $X$ es $| ψ (x) |^{2}$ $| ψ (x) |^{2}$ $| ψ (x) |^{2}$ $| ψ (x) |^{2}$ $| ψ (x) |^{2}$ $El | ψ (X) {El |}^{2}$ . Esta definición tiene sentido tanto para una función de onda real como para una función de onda imaginaria.

Para que una onda plana no tenga información de posición implica que $| ψ (x) |$ $| ψ (x) |$ $| ψ (x) |$ $El | ψ (X) El |$ no depende de la posición y por eso es constante. Por lo tanto debemos tener $ψ$ $ψ$ $ψ$ complejo; de lo contrario no habría forma de almacenar la información "cuál es el impulso de la partícula".

En mi opinión, la naturaleza compleja de las funciones de onda surge de la interacción entre la necesidad de (1) una interpretación de probabilidad, (2) el principio de incertidumbre de Heisenberg y (3) ondas planas.

Por favor aclara algunas dudas para mí. 1. La interpretación de probabilidad: creo que siguió, ya que la función de onda era compleja y el significado físico solo podía atribuirse a un valor real. Si hacemos una construccion $ψ^{*} ψ$ $ψ^{*} ψ$ $ψ^{*} ψ$ $ψ^{*} ψ$ $ψ^{*} ψ$ $ψ^{*} ψ$ $ψ^{*} ψ$ entonces llegamos a la ecuación de continuidad de la ecuación de Schrodinger y ahora se puede hacer la interpretación de que la cantidad $ρ = ψ^{*} ψ$ $ρ = ψ^{*} ψ$ $ρ = ψ^{*} ψ$ $ρ = ψ^{*} ψ$ $ρ = ψ^{*} ψ$ $ρ = ψ^{*} ψ$ $ρ = ψ^{*} ψ$ es la densidad de probabilidad A partir de una interpretación como $ρ = ψ^{*} ψ$ $ρ = ψ^{*} ψ$ $ρ = ψ^{*} ψ$ $ρ = ψ^{*} ψ$ $ρ = ψ^{*} ψ$ $ρ = ψ^{*} ψ$ $ρ = ψ^{*} ψ$ , No veo ninguna manera de trabajar hacia atrás y argumenta convincentemente que la amplitud $ψ$ $ψ$ $ψ$ debe ser complejo
Las relaciones de incertidumbre se derivan de la identificación de la partícula libre como una onda plana. Estoy adivinando sus puntos de respuesta en la dirección correcta, estoy trabajando en (2) como se sugiere en la respuesta de Lubos también y tratando de entender por qué $ψ$ $ψ$ $ψ$ como consecuencia, se valora como complejo, sin embargo, no veo cómo algo, excepto (2), es relevante para mostrarlo de manera concluyente.
@yayu: vea mi publicación: hay dos hechos experimentales esenciales: 1) la fase no se puede medir directamente; 2) los efectos de interferencia ocurren en una amplia gama de materiales cuánticos. Es difícil conciliar estas cosas sin usar números complejos.
Si bien estoy de acuerdo con los pensamientos centrales en esta respuesta, no estoy de acuerdo con la conclusión de que esto requiere números complejos. No se pierde nada, por ejemplo, al expresar la transformada de Fourier (compleja) como dos transformadas de Fourier seno / coseno real. Esto no requiere números complejos, aunque pueden ser convenientes.
@ConfusinglyCuriousTheThird ¡Hola! ¿Mi modesta contribución (actualmente la 3ra debajo de esta), ampliando un poco la respuesta de Carl, proporciona una respuesta que pueda aceptar? Rgds - iSeeker

asmaier · Answer 9

La pregunta es buena y ha sido formulada también por Ehrenfest (1932): "Einige die Quantenmechanik betreffende Erkundigungsfragen" . La respuesta fue dada por Pauli (1933): "Einige die Quantenmechanik betreffenden Erkundigungsfragen" . Lamentablemente, no conozco una traducción al inglés de estas dos publicaciones. Sin embargo, uno puede encontrar una forma ligeramente diferente de la respuesta también en el libro de Pauli "Principios generales de la mecánica cuántica" p.16 . En ese libro, Pauli escribe

una sola función real no es suficiente para construir a partir de funciones de onda de la forma (3.1) una función de probabilidad no negativa que es constante en el tiempo cuando se integra en todo el espacio.

Intentaré resumir sus argumentos aquí:

Un paquete de ondas para describir una sola partícula (básicamente la idea de deBroglie) se puede escribir generalmente como

tu (X, t) = \int U (k) {mi}^{yo (k X - ω t)} re k = \int U (k) {mi}^{yo k X} re k {mi}^{- yo ω t}

dónde

U (k)

U (k)

U (k)

U (k)

U (k)

es la transformada de Fourier de

u (x, 0)

u (x, 0)

tu (X, 0 0)

. El complejo conjugado de este paquete de ondas es

{tu}^{*} (X, t) = \int U^{*} (k) {mi}^{- yo (k X - ω t)} re k = \int U^{*} (k) {mi}^{- yo k X} re k {mi}^{yo ω t}

También se pueden definir dichos paquetes de ondas en electrodinámica. Pero en mecánica cuántica tenemos una condición adicional, a saber, que la probabilidad

P (x, t)

P (x, t)

P (x, t)

P (x, t)

PAG (X, t)

para encontrar una partícula siempre debe ser positiva y la probabilidad total de encontrar una sola partícula en algún lugar debe ser una, entonces

PAG (X, t) \geq 0 0 \int PAG (X, t) re X = 1

Pauli argumenta que el ansatz más simple para construir dicha función

P (x, t)

P (x, t)

P (x, t)

P (x, t)

PAG (X, t)

desde

u (x, t)

u (x, t)

tu (X, t)

es una forma cuadrática definida de las funciones

u

u

tu

y

u^{*}

u^{*}

u^{*}

u^{*}

{tu}^{*}

, eso significa

PAG (X, t) = un {tu}^{2} + si {tu}^{*}^{2} + C tu {tu}^{*}

Ahora de la forma de

u (x, t)

u (x, t)

tu (X, t)

y

u^{*} (x, t)

u^{*} (x, t)

u^{*} (x, t)

u^{*} (x, t)

u^{*} (x, t)

u^{*} (x, t)

{tu}^{*} (X, t)

vemos eso

{tu}^{2} \sim {mi}^{- 2 yo ω t} y {tu}^{*}^{2} \sim {mi}^{2 yo ω t}

y una integral sobre el espacio sobre estas dos funciones nunca puede ser independiente del tiempo. Entonces las constantes

a

a

un

y

b

b

si

debe ser cero en el ansatz para

P (x, t)

P (x, t)

P (x, t)

P (x, t)

PAG (X, t)

. Solo el producto de un paquete de ondas y su conjugado complejo producirá una probabilidad total independiente del tiempo:

1 = \int PAG (X, t) re X = \int tu {tu}^{*} re X = ∭ U (k) U^{*} (k^{'}) {mi}^{yo (k X - k^{'} X)} {mi}^{- yo ω t} {mi}^{yo ω t} re k re k^{'} re X = \iint U (k) U^{*} (k^{'}) δ (k - k^{'}) re k re k^{'} = \int {El | U (k) El |}^{2} re k = \int PAG (k) re k

Desde el producto

u u^{*} = R e [u]^{2} + I m [u]^{2}

u u^{*} = R e [u]^{2} + I m [u]^{2}

u u^{*} = R e [u]^{2} + I m [u]^{2}

u u^{*} = R e [u]^{2} + I m [u]^{2}

u u^{*} = R e [u]^{2} + I m [u]^{2}

u u^{*} = R e [u]^{2} + I m [u]^{2}

u u^{*} = R e [u]^{2} + I m [u]^{2}

u u^{*} = R e [u]^{2} + I m [u]^{2}

u u^{*} = R e [u]^{2} + I m [u]^{2}

u u^{*} = R e [u]^{2} + I m [u]^{2}

u u^{*} = R e [u]^{2} + I m [u]^{2}

u u^{*} = R e [u]^{2} + I m [u]^{2}

u u^{*} = R e [u]^{2} + I m [u]^{2}

u u^{*} = R e [u]^{2} + I m [u]^{2}

tu {tu}^{*} = R mi [tu]^{2} + yo metro [tu]^{2}

se deduce que, como dijo Pauli, para calcular una probabilidad significativa de los paquetes de onda de la forma

u (x, t)

u (x, t)

tu (X, t)

uno necesita la parte real e imaginaria de

u (x, t)

u (x, t)

tu (X, t)

y la función de onda en mecánica cuántica debe ser compleja.

Anonymous · Answer 10

Desde el punto de vista físico, la función de onda debe ser compleja para explicar el experimento de doble rendija , como se menciona en el libro de The Feynman Lectures on Physics-III , le sugiero que revise los capítulos 1 y 3 , donde se explica como $ψ$ $ψ$ $ψ$ tiene que considerarse de naturaleza probabilística, de acuerdo con el patrón de interferencia, porque "algo" debe comportarse como una onda al momento de cruzar "cada una" de las rendijas. Además, Bohm proclama que el camino de la partícula (electrón, fotón, etc.) puede considerarse clásico, por lo que puede observar este, ya que sigue las reglas ya conocidas en la macro ... en ese sentido, usted can see next reference or this one to consider the covariance of the laws of mechanics.

iSeeker · Answer 11

ESTA RESPUESTA TARDÍA (enero de 2018) se expande un poco en la respuesta directa de Carl Brannen y (OMI) subestimada (que se muestra un poco más arriba, en el momento de la publicación), que me recordó otro argumento simple y convincente de por qué la ola- La función debería ser compleja , establecida hace muchos años en la " Introducción a la mecánica cuántica " de Dicke y Wittke (1960; pp. 23-24).

Dada su revisión en el capítulo 1 de por qué una onda mecánica cuántica está sujeta a la dualidad onda-partícula / la relación de De Broglie, proceden de la siguiente manera:

Para una partícula de onda de momento claramente definido:

λ = h / p (y por lo tanto, por Δ x .Δ p > = h / 4π, completamente incierta - esencialmente uniforme - posición)

… La distribución de probabilidad | ψ | ^ 2 de una onda plana debe tener una posición uniforme, que no puede satisfacerse con una onda plana de valor real

ψ = A sin (kx - ωt + α)

... pero está satisfecho (generalizando a una posición arbitraria) por

ψ = A exp [i ( kx - ωt)], donde el vector de propagación k = p / (h / 2π).

Dicke y Wittke luego discuten cómo la función de onda de valor complejo explica los efectos de interferencia (sin derechos de autor y disponible de forma segura a través de https://archive.org/details/IntroductionToQuantumMechanics ).

[Atención: busca en Google el título del libro / pdf: muchas fuentes en línea, a diferencia de la anterior, no son seguras]

JG · Answer 12

La función de onda $ψ (x)$ $ψ (x)$ $ψ (x)$ $ψ (x)$ $ψ (x)$ $ψ (X)$ es la proyección del vector de estado del sistema físico $| ψ ⟩$ $| ψ ⟩$ $| ψ ⟩$ $El | ψ ⟩$ sobre la $\hat{x}$ $\hat{x}$ $\hat{x}$ $\hat{x}$ $\hat{X}$ eigenket $| x ⟩$ $| x ⟩$ $El | X ⟩$ de valor propio $x$ $x$ $X$ a saber. $| ψ ⟩ = \int d x ψ (x) | x ⟩$ $| ψ ⟩ = \int d x ψ (x) | x ⟩$ $| ψ ⟩ = \int d x ψ (x) | x ⟩$ $| ψ ⟩ = \int d x ψ (x) | x ⟩$ $El | ψ ⟩ = \int re X ψ (X) El | X ⟩$ .No se debe confundir el escalar valor $ψ (x) = ⟨ x | ψ ⟩$ $ψ (x) = ⟨ x | ψ ⟩$ $ψ (x) = ⟨ x | ψ ⟩$ $ψ (x) = ⟨ x | ψ ⟩$ $ψ (x) = ⟨ x | ψ ⟩$ $ψ (x) = ⟨ x | ψ ⟩$ $ψ (x) = ⟨ x | ψ ⟩$ $ψ (x) = ⟨ x | ψ ⟩$ $ψ (x) = ⟨ x | ψ ⟩$ $ψ (x) = ⟨ x | ψ ⟩$ $ψ (x) = ⟨ x | ψ ⟩$ $ψ (X) = ⟨ X El | ψ ⟩$ con el vector $| ψ ⟩$ $| ψ ⟩$ $| ψ ⟩$ $El | ψ ⟩$ que vive en un espacio de Hilbert.

La primera oración de su primera pregunta es, en términos técnicos: ¿por qué es este espacio de Hilbert sobre el campo? $C$ $C$ $C$ en lugar de decir $R$ $R$ $R$ ?Si presiona Ctrl + F en "Números reales versus números complejos" aquí , obtendrá una discusión detallada de varias motivaciones de por qué la mecánica cuántica debería verse así. Una ventaja de una función de onda compleja es que tiene una amplitud y una fase, pero solo la primera afecta la densidad de probabilidad $| ψ |^{2}$ $| ψ |^{2}$ $| ψ |^{2}$ $| ψ |^{2}$ $El | ψ {El |}^{2}$ , y este último nos da interferencia cuántica debido a identidades trigonométricas como $| 1 + \exp i θ | = 2 | \cos \frac{θ}{2} |$ $| 1 + \exp i θ | = 2 | \cos \frac{θ}{2} |$ $| 1 + \exp i θ | = 2 | \cos \frac{θ}{2} |$ $| 1 + \exp i θ | = 2 | \cos \frac{θ}{2} |$ $| 1 + \exp i θ | = 2 | \cos \frac{θ}{2} |$ $| 1 + \exp i θ | = 2 | \cos \frac{θ}{2} |$ $| 1 + \exp i θ | = 2 | \cos \frac{θ}{2} |$ $| 1 + \exp i θ | = 2 | \cos \frac{θ}{2} |$ $| 1 + \exp i θ | = 2 | \cos \frac{θ}{2} |$ $| 1 + \exp i θ | = 2 | \cos \frac{θ}{2} |$ $El | 1 + Exp yo θ El | = 2 El | \cos \frac{θ}{2} El |$ .Sin embargo (para continuar su Q1), una transformación galileana debe incluir un cambio de fase para que la ecuación de Schrödinger sea invariable; ver aquí y aquí para más información. Una transformación de indicador como la galileana es simplemente una forma de transformar coordenadas o campos (que vienen a ser lo mismo en una teoría de campo lagrangiana), que dejan invariable la acción y sus ecuaciones de movimiento. (Por cierto, debes tener cuidado de no confundir las palabras transformación y transformación).

Tu Q2 también depende de no confundir $ψ$ $ψ$ $ψ$ con $| ψ ⟩$ $| ψ ⟩$ $| ψ ⟩$ $El | ψ ⟩$ . El rayo es el conjunto de valores de $\exp i θ | ψ ⟩$ $\exp i θ | ψ ⟩$ $\exp i θ | ψ ⟩$ $\exp i θ | ψ ⟩$ $Exp yo θ El | ψ ⟩$ con $θ \in R$ $θ \in R$ , pero cambiando de un valor de $θ$ $θ$ $θ$ a otras hojas $ψ$ $ψ$ $ψ$ invariante porque $⟨ x |$ $⟨ x |$ $⟨ X El |$ se multiplica por $(\exp i θ)^{*} = \exp - i θ$ $(\exp i θ)^{*} = \exp - i θ$ $(\exp i θ)^{*} = \exp - i θ$ $(\exp i θ)^{*} = \exp - i θ$ $(\exp i θ)^{*} = \exp - i θ$ $(Exp yo θ)^{*} = Exp - yo θ$ .

En cuanto a Q3, es más útil trabajar con el módulo y la fase del complejo. $ψ$ $ψ$ $ψ$ en lugar de su parte real e imaginaria, porque bajo transformaciones unitarias, la primera es invariante y también lo son las diferencias en la segunda.

Tom · Answer 13

Dado que tanto la amplitud como la longitud de onda no pueden conocerse con precisión simultáneamente, creo que esto significa que hay información faltante que aún debe tratarse continuamente. Esa información se almacena convenientemente en la parte imaginaria de un número complejo.

Esto no está lo suficientemente justificado como para ser una respuesta, y además, estoy bastante seguro de que no es una buena manera de pensar en eso.

¿Sobre la naturaleza compleja de la función de onda?

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