El potencial de la función delta

Question

El potencial de la función delta

Logan

Estoy leyendo Griffiths Intro to QM 2nd Ed. y cuando se trata de estados ligados/dispersos (2.5) dicen:

$E<0 \implies$ estado ligado

$E>0 \implies$ estado de dispersión

¿Por qué esto no cambia dependiendo de si tiene un potencial de función delta positivo o negativo?

seguro

Esto está determinado por el comportamiento en el infinito. Para un estado de dispersión en 1d, el estado estacionario con energía

E

$E$ va como

\exp (\pm i k x)

$\exp(\pm i kx)$ con

E = ℏ^{2} k^{2} / 2 m > 0

$E=\hbar^2k^2/2m>0$ mientras que para

E < 0

$E<0$ , va como

\exp (- κ | x |)

$\exp(- \kappa |x|)$ con

E = - ℏ^{2} κ^{2} / 2 m > 0

$E=-\hbar^2\kappa^2/2m>0$ .

unsym

Para aclarar, para el estado enlazado, debe ser

E < V (\pm \infty)

$E<V(\pm \infty)$ , que resulta ser cero en este caso.

Respuestas (2)

El potencial de la función delta

Esto está determinado por el comportamiento en el infinito. Para un estado de dispersión en 1d, el estado estacionario con energía $E$ va como $\exp(\pm i kx)$ con $E=\hbar^2k^2/2m>0$ mientras que para $E<0$ , va como $\exp(- \kappa |x|)$ con $E=-\hbar^2\kappa^2/2m>0$ .
Para aclarar, para el estado enlazado, debe ser $E<V(\pm \infty)$ , que resulta ser cero en este caso.

mateus sampaio · Answer 1

Esta definición de estados ligados y de dispersión no es del todo correcta, aunque es válida para muchos potenciales. Hay contraejemplos de este hecho que tienen sus raíces en un artículo de von Neumann y Wigner. Uno es el potencial esférico.

V (r) = 32 pecado r \frac{pecado r - (1 + r) porque r}{{(2 + 2 r - pecado 2 r)}^{2}}

$V(r)=32\sin r \frac{\sin r-(1+r)\cos r}{\left(2+2r-\sin 2r\right)^2}$ No es dificil comprobar que

V (r)

$V(r)$ es una función continua acotada que se anula en el infinito. Si bien, la función

ψ (X) = \frac{2 pecado r}{r (2 + 2 r - pecado 2 r)}

$\psi(x)=\frac{2\sin r}{r\left(2+2r-\sin 2r\right)}$ es una función propia de

H = - Δ + V

$H=-\Delta + V$ , con valor propio

1 > 0

$1>0$ .

gráficos matemáticos

Entonces, este es un ejemplo de un estado vinculado para el cual estas condiciones no se cumplen. La definición precisa de estados ligados es más sutil y está dada por los elementos de

H_{atado} (H) = {ψ (X, 0) \in L^{2} (R^{norte}) : \underset{r \to \infty}{límite} \underset{t \in R}{sorber} \int_{R^{norte} ∖ B (0; r)} | ψ (X, t) |^{2} d X = 0},

$\mathcal{H}_{\text{bound}}(H)=\left\{\psi(x,0) \in L^2(\Bbb{R}^n):\lim_{r\to\infty}\sup_{t\in \Bbb{R}} \int_{\Bbb{R^n}\backslash B(0;r)}|\psi(x,t)|^2dx=0\right\},$ dónde

ψ (x, t) = e^{- i t H} ψ (x, 0)

$\psi(x,t)=e^{-itH}\psi(x,0)$ , es decir, los estados que se localizan en el espacio para cualquier tiempo

t

$t$ . siempre es cierto que

H_{bound} (H) \supset H_{p} (H)

$\mathcal{H}_{\text{bound}}(H) \supset \mathcal{H}_{\text{p}}(H)$ , el cierre del conjunto de combinaciones lineales de vectores propios de

H

$H$ , y para algunos potenciales se cumple la igualdad.

Para el potencial de la función delta, la realización de un operador autoadjunto que tenga las propiedades correctas no es tan simple, pero se puede hacer de varias maneras. Pero como comenta Griffiths, el cambio de un potencial delta negativo a positivo mata el estado ligado, ya que su única función propia ya no es normalizable y todos los estados son estados de dispersión.

¿El estado propio que mencionas está incrustado en un continuo (y, por lo tanto, una resonancia? ¿O está sujeto a un acoplamiento de Fano al continuo?) ¿O el continuo comienza por encima de él? En términos más generales, ¿puede proporcionar una referencia al artículo original o una buena revisión de ese potencial?
¡Gracias por la imagen! Está incrustado en el espectro continuo que es en este caso $\sigma_c(H)=[0,\infty)$ . El artículo original es de von Neumann, John; Wigner, Eugenio (1929). "Über merkwürdige diskrete Eigenwerte". Physikalische Zeitschrift 30: 465–467. Pero para obtener buenas referencias sobre estos estados, verifique: para una mirada más física, la sección 10.4 de Mecánica cuántica de Ballentine; para una mirada físico-matemática la sección 11.4.2 de Teoría espectral intermedia y dinámica cuántica de de Oliveira.

Ángulo de Eric · Answer 2

Si $E < V\left(-\infty\right)$ , $E<V\left(+\infty\right)$ , y $E > V_{min}$ (necesario para $\Psi$ para ser normalizable), entonces es un estado ligado, y el espectro será discreto:

Ψ (X, t) = \sum_{norte} C_{norte} Ψ_{norte} (X, t) .

$\Psi\left(x,t\right) = \sum_n c_n \Psi_n\left(x,t\right).$ De lo contrario, si

E > V (- \infty)

$E > V\left(-\infty\right)$ o

E > V (+ \infty)

$E > V\left(+\infty\right)$ -- es un estado de dispersión, y el espectro será continuo:

Ψ (X, t) = \int d k C (k) Ψ_{k} (X, t) .

$\Psi\left(x,t\right) = \int dk \ c\left(k\right) \Psi_k\left(x,t\right).$

$V\left(\pm \infty\right) = 0$ para ambos $V\left(x\right) = +\delta\left(x\right)$ y $V\left(x\right) = - \delta\left(x\right)$ , entonces $E$ tiene que ser negativo para tener un estado ligado.

$\min +\delta\left(x\right) = 0$ , por lo que no hay estados ligados para $V\left(x\right) = +\delta\left(x\right)$ .

$\min -\delta\left(x\right) = -\infty$ , así que para $V\left(x\right) = -\delta\left(x\right)$ , $E<0$ para un estado ligado y $E > 0$ para un estado de dispersión, como tú.

EDITAR : Sin embargo, como señaló @Mateus Sampaio, aparentemente hay excepciones a las reglas generales anteriores.

¿Qué pasa con el artículo de von Neumann y Wigner, en el que mostraron un estado ligado que tiene su energía en el espectro continuo? en.wikipedia.org/wiki/Bound_state#cite_note-5

El potencial de la función delta

Logan

seguro

unsym

Respuestas (2)

mateus sampaio

Emilio Pisanty

mateus sampaio

Ángulo de Eric

mateus sampaio

kalkanistovinko

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