Supongamos que tienes partículas, cada una de las cuales puede ocupar cualquiera de estados En general, puede escribir el partícula espacio de Hilbert como producto de partículas espacios de Hilbert :
Esto significa que el el espacio de partículas tendrá .
Ahora nos fijamos en los subespacios habituales: para fermiones y para bosones. Por sus dimensiones tenemos
¿Qué sucede con las dimensiones "faltantes"? ¿Se puede decir algo sobre una descomposición de como consecuencia del postulado de simetrización?
De hecho, el postulado de la simetrización dice que en la naturaleza solo se realizan estados completamente simétricos o completamente antisimétricos, dependiendo de si el espín es integral o no integral (y suponiendo que todas las partículas son idénticas; de lo contrario, la simetrización debe realizarse solo sobre cada grupo de partículas idénticas). partículas). Así la parte usada de es cualquiera o (sin superposiciones como en su suma directa). Los estados no simetrizados simplemente no son elegibles para sistemas realistas, aunque hay muchos de ellos en .
Sin embargo, desde una perspectiva puramente matemática, uno puede descomponer en una suma directa de subespacios, cada uno de los cuales lleva una representación irreducible del grupo simétrico de los partículas Dos de estos subespacios tienen un significado físico, precisamente aquellos en los que la representación es unidimensional. Los subespacios restantes corresponderían a hipotéticas partículas ''parafermiónicas'' que no se encuentran en la naturaleza.