Para los gases clásicos ideales, en términos de los niveles de energía, ¿por qué ignoramos si las partículas son fermiones o bosones?

Estoy confundido en cuanto a por qué cuando se trata de gases clásicos ideales, se ignora la dependencia de que las partículas sean fermiones o bosones. ¿Cómo se relaciona esto con los niveles de energía dentro del sistema?

Pensé que tenía algo que ver con el hecho de que los gases clásicos ideales están a temperaturas en las que la energía térmica kT es mucho mayor que el espacio entre los niveles de energía, pero no estoy del todo seguro de si esta es la forma correcta en que debería pensar.

Cualquier conocimiento que me haga un poco menos ignorante sobre el tema será muy apreciado.

También en el gas de electrones, k T es mucho mayor que el espaciado de nivel.

Respuestas (4)

Porque tanto la distribución de Fermi-Dirac como la distribución de Bose-Einstein están bien aproximadas por la distribución de Maxwell-Boltzmann en el límite de baja densidad. Básicamente, la suposición detrás del gas ideal es que la densidad del gas es lo suficientemente baja como para que las colisiones no sean un factor significativo en la descripción de la dinámica del gas, lo que nos permite pasar de la distribución termodinámica de 1 partícula al gas. Cuando la densidad comienza a aumentar, la primera corrección generalmente se describe mediante la ecuación de Van der Waals . A medida que la temperatura desciende o la densidad aumenta aún más, debe comenzar a preocuparse por la distinción entre bosones y fermiones.

Más precisamente, no se trata de k T en comparación con algún espaciado de nivel de energía, se compara con el potencial químico. En detalle, es tener k T lo suficientemente alto como para

B mi ( mi ) = 1 mi ( mi − m ) / k T − 1   a norte d F D ( mi ) = 1 mi ( mi − m ) / k T + 1
se aproximan adecuadamente por
METRO B ( mi ) = mi − mi / k T .

Tenga en cuenta que la aproximación solo es "buena" en el extremo inferior ( mi < k T ) cuando m < 0 .

Para los fermiones, el potencial químico es la energía de Fermi o mayor, que está controlada por la densidad de las partículas. Tengo problemas para encontrar una referencia sobre cómo encontrar el potencial químico para la distribución de Bose-Einstein. ResearchGate alberga un gráfico del potencial químico de los helios 3 y 4 a baja temperatura ( m / k esta alrededor − 2 y − 7 Kelvin para ellos, respectivamente).

NO es "tener k T lo suficientemente alto"! El requisito para la aproximación de la distribución BE y FD por la distribución de Botzmann es k T << mi .
@freecharly ¿Está seguro de que está en el límite de baja temperatura que BD y FD se aproximan bien por MB? Por favor, muestra tu trabajo.
La condición mi >> k T parece ser el requisito matemático de que las funciones de distribución BE y DE sean ambas aproximadas por mi − mi / k T .
Gracias, @freecharly, por ayudarme a detectar mi error. Por lo que vale, mi no se puede usar para comparar distribuciones como un todo ya que es la variable en la distribución. Los parametros k T y m controlan la forma de la distribución, en general, por lo que son los únicos datos válidos cuando se analiza la forma de la distribución.
Su edición con el potencial químico deja muy claro su punto ahora.
“la suposición detrás del gas ideal es que la densidad del gas es lo suficientemente baja como para que las colisiones no sean un factor significativo en la descripción de la dinámica del gas”; en realidad, las colisiones son importantes: para garantizar la equipartición. Realmente, lo que necesita para un gas ideal es un camino libre que sea mucho más largo que las escalas de longitud de partículas, pero aún significativamente más corto que el tamaño del sistema. Este último generalmente se da a cualquier presión cercana a la atmosférica, pero a menudo no en el espacio exterior, donde siempre debe considerar si el MHD ideal es un modelo apropiado o si necesita una descripción cinética.

Otra forma de verlo es que la distancia entre los átomos es grande en comparación con su longitud de onda de De-Broglie. Entonces no importa que uno deba usar estadísticas de partículas indistinguibles; en principio, aún sería posible seguir una partícula la mayor parte del tiempo.

Ya hay buenas respuestas; Agregaré otra forma de ver esto. Dejar norte sea ​​el número de partículas en un estado cuántico particular. Usando las estadísticas de Maxwell-Boltzmann, puede calcular una distribución de probabilidad pags MEGABYTE ( norte ) .

Los fermiones modifican esta distribución al prohibir más de una partícula en el mismo estado,

pags Fermi ( 2 ) = pags Fermi ( 3 ) = … = 0.
Los bosones modifican esta distribución prefiriendo "agruparse", es decir, se tiende a ver grupos de bosones en el mismo estado,
pags Bosé ( 2 ) ≳ pags MEGABYTE ( 2 ) , pags Bosé ( 3 ) ≳ pags MEGABYTE ( 3 ) , …
En todos los casos, el promedio ⟨ norte ⟩ es el mismo ya que hay el mismo número de partículas totales.

El límite donde todas estas distribuciones son iguales es el límite de baja densidad ⟨ norte ⟩ ≪ 1 . En este caso, la gran mayoría de la probabilidad se concentra en pags ( 0 ) con un poquito en pags ( 1 ) . Las modificaciones que hacen las distribuciones de Fermi y Bose a pags ( 2 ) y superiores son despreciables.

Dado que hay un estado cuántico para cada constante de Planck del área del espacio de fase, ⟨ norte ⟩ ≪ 1 es equivalente a

( impulso típico ) ( distancia típica entre partículas vecinas ) ≫ h .
Como ya se mencionó, esto equivale a decir que las partículas están separadas por una distancia mucho mayor que su longitud de onda de De Broglie.

Muchísimas gracias. Ojalá hubiera más de un botón verde. Todas las respuestas fueron bastante útiles, ¡pero esto realmente hizo que las cosas tuvieran más sentido para mí!

El gas ideal clásico es una aproximación tal que el número de estados de energía es muy grande. (g>>n) Entonces las partículas no compiten para ocupar el mismo estado de energía. En realidad, lo ignoramos porque este caso (partículas con el mismo estado) es muy poco probable.

Y si el número de estados no es lo suficientemente grande, debemos considerar las estadísticas cuánticas.

Para los gases clásicos ideales, en términos de los niveles de energía, ¿por qué ignoramos si las partículas son fermiones o bosones?
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v