El teorema de Liouville y la preservación de la topología

Aquí hay algo que creo que es una prueba simple. Desafortunadamente, usa un poco de cohomología.

Considere la forma canónica de 2 en el espacio de fase extendido$T^*M \times \mathbb{R}$

$$\omega = \sum_{i=1}^N dq_i \wedge dp_i - dH(\vec{q},\vec{p},t) \wedge dt ,$$

dónde$N = dim(M)$. Una función$f: M \to M$se dice que es una transformación canónica iff$f^* \omega = \omega$. Así, para cualquier transformación canónica,

$$\sum_{i=1}^N dq_i \wedge dp_i - dH(\vec{q},\vec{p},t) \wedge dt = \sum_{i=1}^N dQ_i \wedge dP_i - dK(\vec{Q},\vec{P},T) \wedge dT ,$$

donde definimos$(\vec{Q},\vec{P},T) = f^*(\vec{q},\vec{p},t)$. Esto significa que

$$\sum_{i=1}^N q_i dp_i - H(\vec{q},\vec{p},t) dt - \left( \sum_{i=1}^N Q_i dP_i - dK(\vec{Q},\vec{P},T) dT \right) = dG ,$$

es decir, que las formas tautológicas asociadas a las 2-formas canónicas son elementos de la misma clase de cohomología de De Rham. Por la invariancia homotópica de la cohomología de De Rham,

$$\oint_\gamma \left( \sum_{i=1}^N q_i dp_i - H(\vec{q},\vec{p},t) dt \right) = \oint_{\Gamma} \left( \sum_{i=1}^N Q_i dP_i - dK(\vec{Q},\vec{P},T) dT \right) ,$$

dónde$\Gamma$es la imagen de la curva$\gamma$por$f$.

Como el movimiento puede considerarse una transformación canónica, acabamos de demostrar que la evolución hamiltoniana en el espacio de fase extendido solo necesita relacionar curvas homotópicas. Un corolario es que si comienzas con un conjunto compacto simplemente conexo en el espacio de fases y realizas un seguimiento de su evolución en el tiempo, la curva que limita este conjunto solo puede evolucionar hacia otros homotópicos. Como el límite de un conjunto simplemente conexo nunca es homotópico con uno que no es simplemente conexo, acabamos de mostrar que la evolución hamiltoniana lleva los conjuntos con conexión simple a conjuntos con conexión simple.

Lo siento mucho si esto es demasiado técnico. Soy demasiado ignorante para ofrecer una prueba con argumentos más simples (lo que indica cuán limitado es mi conocimiento sobre el tema).

EDITAR: Pequeña corrección en la dimensión.

Según el teorema principal de conectividad en topología general, los mapas continuos conservan la conectividad. La evolución temporal de los sistemas hamiltonianos conserva la conexión porque es continua. Creo que es independiente del teorema de Liouville, solo requiere probar que la evolución del tiempo hamiltoniano es continua.

Esta es solo una forma formal de reafirmar la respuesta de @StevenMathey.

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El teorema de Liouville establece que la evolución temporal de los sistemas hamiltonianos conserva el volumen. La preservación del volumen y la continuidad son propiedades independientes.

Considere estos sistemas simples no hamiltonianos:

$$\begin{align} & && \text{volume preserving} && \text{continuous} \\ \dot{q} &= sgn(q) && + && -\\ \dot{q} &= -q && - && + \end{align}$$ Dado que estos son sistemas de primer orden, la continuidad y la preservación del volumen se pueden juzgar simplemente en relación con el espacio de configuración, o en relación con el espacio de fase como para los sistemas hamiltonianos.

No puedo probar nada. Espero que este argumento de agitar la mano sea satisfactorio para usted.

La dinámica hamiltoniana es un proceso continuo. Dos puntos vecinos del espacio de fase solo pueden alejarse continuamente el uno del otro. No hay salto repentino.

El espacio de fase no se puede dividir en un conjunto disjunto por una evolución temporal de tiempo finito porque, si este fuera el caso, habría una frontera entre las regiones disjuntas. Esto solo es posible si este borde ya está presente en las condiciones iniciales.

Imagina que tienes un solo conjunto cerrado de condiciones iniciales en el espacio de fase. Si en algún momento este conjunto se partió en dos, entonces debe contener algunos puntos que van de un lado y algunos puntos que van del otro aunque estén infinitesimalmente próximos entre sí al principio de la evolución temporal. Esto implica que tienes un salto discontinuo en algún punto.

OBSERVACIÓN. Quizás interpreté mal la pregunta. Lo interpreté como si estuviera referido al volumen total del espacio fase.

La respuesta es negativa si la pregunta se refiere a cambios generales en el tiempo de la topología del espacio total de fases y si no impone ninguna restricción genérica a la topología de los espacios, como la compacidad (ver el comentario final). Esto se debe a hechos básicos mucho más elementales que el teorema de Liouville.

Considere la siguiente situación: Una partícula que es libre excepto por el hecho de que está obligada a permanecer en la curva sin fricción obtenida por la intersección de un cono y un plano, cuya pendiente depende del tiempo a lo largo de una ley conocida. Esta curva pasa de un círculo a una hipérbola en un lapso finito de tiempo, cambiando su topología. No hay dificultad en traducir este problema de la mecánica newtoniana a la mecánica lagrangiana adoptando marcos de coordenadas locales que definen un atlas en una variedad que es una$2D$múltiples foliadas sobre el eje del tiempo$\mathbb R$, Quiero decir$\cup_{t \in \mathbb R}Q_t$, donde cada hoja$Q_t$es el espacio de configuración en el tiempo$t$(este colector general no es un haz de fibras sobre$\mathbb R$en consecuencia, dado que las hojas no son difeomorfas y no es un producto cartesiano local). El punto es que el cambio de topología ocurre en el infinito: El círculo$Q_t$se vuelve más y más grande a medida que$t$aumenta y, durante cierto tiempo,$t_0$, se vuelve difeomorfa a una línea. Además, en este modelo, ninguna condición inicial de un punto de la curva puede generar un movimiento que alcance el infinito, donde ocurre el cambio de topología, en un lapso de tiempo finito. Entonces nadie puede ver el cambio de topología. (Esto depende en gran medida de la dinámica, no se deben permitir soluciones de explosión).

Dado que el paso de la mecánica newtoniana a la mecánica lagrangiana se realiza en coordenadas locales, no hay problema en escribir el lagrangiano de la partícula en coordenadas locales$t,q$. El espacio-tiempo de las configuraciones,$stQ$, existe como una variedad suave a través del espacio de configuraciones$Q_t$(que es una subvariedad incrustada suave de$stQ$para cada vez) cambia la topología en el tiempo.

El vector de posición en la física.$3$-el espacio es$\vec{x}= \vec{x}(t,q)$donde la aparición de$t$se debe al hecho de que la restricción cambia su forma en el tiempo. Este lagrangiano tiene siempre la forma

$$L(t, q, \dot{q})= \frac{1}{2} m\vec{v}^2= \frac{m}{2} \frac{\partial \vec{x}}{\partial q}\cdot \frac{\partial \vec{x}}{\partial q} \dot{q}^2 + m \frac{\partial \vec{x}}{\partial q}\cdot \frac{\partial \vec{x}}{\partial t} \dot{q} + \frac{m}{2} \frac{\partial \vec{x}}{\partial t}\cdot \frac{\partial \vec{x}}{\partial t}\:.$$ Este Lagrangiano se define sobre una variedad que tiene la forma $\cup_{t \in \mathbb R} Q_t \times \mathbb R$(el último factor es el dominio de $\dot q$). La topología de las secciones etiquetadas por $t$cambia en el tiempo a medida que, nuevamente, el primer grupo de homotopía pasa de $\mathbb Z$a $1$. Dado que la forma cuadrática $\frac{m}{2} \frac{\partial \vec{x}}{\partial q}\cdot \frac{\partial \vec{x}}{\partial q}$no es degenerado, la transformación de Legendre está bien definida: $$p = \frac{\partial \vec{x}}{\partial q}\cdot \frac{\partial \vec{x}}{\partial q} \dot{q}$$ y se puede implementar el enfoque hamiltoniano. Cada parche de coordenadas locales $t,q, \dot{q}$da lugar a un parche de coordenadas locales $t,q,p$. La variedad total, el espacio-tiempo de las fases $stF$es de nuevo de la forma $\cup_{t \in \mathbb R} Q_t \times \mathbb R$(el último factor es ahora el dominio de $p$). Como antes, la topología de cada espacio de fases $F_t = Q_t \times \mathbb R$cambia en el tiempo porque, de nuevo, el primer grupo de homotopía pasa de $\mathbb Z$a $1$.

Por medio de un argumento similar, creo que uno podría pasar de un espacio de configuración conectado a uno no conectado para que el espacio de fases pase de manera similar de una topología conectada a una desconectada. Piense en un punto libre excepto por el hecho de que está obligado a permanecer en una curva sin fricción$Q_t$de la forma$\subset \hskip -3pt \supset$cuya longitud (me refiero a la distancia desde$\subset$y$\supset$) aumenta en el tiempo haciéndose infinito en un lapso de tiempo finito, a partir de entonces la curva se separa en un par de rectas paralelas. Esto se puede describir como antes en un espacio-tiempo suave de configuraciones de la forma$\cup_{t \in \mathbb R} Q_t$.

Si el espacio de fases$F_t$es compacto para cada$t$, entonces no se permiten cambios de topología en absoluto . Esto se debe a que la compacidad permite escribir un flujo hamiltoniano global en un intervalo suficientemente pequeño$(t_0-\epsilon, t_0+\epsilon)$de tiempo alrededor de cada tiempo fijo$t_0$. En otras palabras, hay un difeomorfismo$\phi : F_\tau \to F_{\tau'}$si$\tau,\tau'\in (t_0-\epsilon, t_0+\epsilon)$. Como los difeomorfismos son homeomorfismos, la topología de$F_\tau$y$F_{\tau'}$debe coincidir. Es claro que este argumento, acumulando intervalos como$(t_0-\epsilon, t_0+\epsilon)$, implica que la topología de$F_\tau$y$F_{\tau'}$debe coincidir para cada elección de$\tau,\tau' \in \mathbb R$.