¿Por qué el autor eligió esto como el campo eléctrico?

Question

¿Por qué el autor eligió esto como el campo eléctrico?

darthvacío

En la imagen de abajo, el autor elabora un ejemplo. Sin embargo, no entiendo cómo llegó a $\vec{E}$ . En el problema, dice que la carga se distribuye uniformemente, pero de alguna manera dice que la distancia desde el punto de origen hasta el punto de campo en todas partes del hemisferio norte está a una distancia $R$ lejos. Mi conjetura podría ser que está usando este concepto (corríjame si lo digo mal): cuando tiene una esfera sólida que tiene una carga uniforme, puede pretender que la totalidad de la carga está ubicada en su centro. Luego, puede tratar esto como una carga discreta que le permite usar una distancia fija a cualquier punto de campo.

Sin embargo, si este es realmente el concepto que usó, tengo un problema con eso. El hemisferio sur también está cargado y este lado de la esfera tendrá un valor diferente por su contribución a la $\vec{E}$ campo. De hecho, cada punto de la esfera tendrá un efecto sobre todos los demás puntos de la esfera. Sé que estamos lidiando con una distribución continua de carga aquí, pero para ayudarme a visualizar mejor la carga, pienso en el escenario como una ENORME (ver: incontable ) colección de cargas puntuales. Ahora hago la pregunta: ¿Cómo afecta esta carga puntual a esa carga puntual? Desde esta perspectiva, cada punto de la esfera afecta al hemisferio norte.

¿Alguien podría ayudarme a entender esto?

Para aclarar: no estoy preguntando sobre la solución final, solo estoy preguntando sobre un paso en su solución. No me importa la fuerza neta, solo quiero saber cómo llegó a $\vec{E}$ .

Frobenius

El libro de texto de referencia es "Introducción a la electrodinámica" David J. Griffiths, 4ª edición. No es un problema sino un ejemplo de cómo usar el tensor de tensión de Maxwell y la ecuación. 8.21 para determinar las fuerzas netas:

\begin{matrix} (8.21) & F = \oint_{S} \overset{\leftrightarrow}{T} \cdot d a (estático). \end{matrix}

$\mathbf{F}=\oint_S \overleftrightarrow{\mathbf{T}}\boldsymbol{\cdot} d \mathbf{a} \qquad \textrm{(static).} \tag{8.21}$ Por lo tanto, lea atentamente el 'CAPÍTULO 8 Leyes de conservación' y la solución dada en el ejemplo.

Frobenius

Rechacé su pregunta porque no hizo ningún esfuerzo por su parte.

darthvacío

"sin esfuerzo" es una frase relativa.

Frobenius

Entre otros, por "sin esfuerzo" quiero decir que ni siquiera pasa de la página 364 a las páginas 365,366 para leer la solución completa. Parece que solo tienes una fotocopia de la página 364 y crees que la respuesta es la ecuación encerrada en un círculo rojo (por ti). La respuesta está en la página 365.

\begin{matrix} (8.26) & F = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{3 q^{2}}{dieciséis R^{2}} \end{matrix}

$F=\dfrac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\dfrac{3Q^{2}}{16R^{2}} \tag{8.26}$ idéntico al dado también en el problema 2.47 (página 108), ya que podrías asegurarte si tendrías el libro de texto a mano en el futuro.

darthvacío

Nuevamente, repito el comentario que hice a la respuesta dada a continuación. No estoy preguntando cómo el autor encontró la fuerza neta, estoy preguntando sobre 1 paso simple en su solución. No veo por qué ambos parecen pensar que estoy preguntando sobre la respuesta final , estoy preguntando sobre el paso 2 de su razonamiento.

Frobenius

OK entonces. Debido a la simetría esférica el vector

E (r)

$\:\mathbf{E}(\mathbf{r})\:$ es normal a la superficie esférica y constante en magnitud

| E |

$\:\vert\mathbf{E}\vert\:$ en esta superficie. De la Ley de Gauss

\oint_{S} mi \cdot d a = \frac{1}{ϵ_{0}} q_{enc} ⟹ | mi | 4 π R^{2} = \frac{1}{ϵ_{0}} q ⟹ mi = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{q}{R^{2}} \hat{r}

$\oint_S \mathbf{E}\boldsymbol{\cdot} d \mathbf{a}=\dfrac{1}{\epsilon_{0}}Q_{\textrm{enc}} \Longrightarrow \vert\mathbf{E}\vert 4\pi R^{2}=\dfrac{1}{\epsilon_{0}}Q \Longrightarrow \mathbf{E}=\dfrac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\dfrac{Q}{R^{2}}\mathbf{\hat{r}}$ (vea las páginas 71-72 del libro de texto)... y tenga cuidado: el hemisferio "sur" existe aunque no se muestra en la Figura 8.4 .

Frobenius

Retiro la votación negativa.

darthvacío

Gracias. Con respecto al método de la Ley de Gauss, esto fue todo, debería haber revisado un capítulo anterior. Gracias de nuevo.

Deschele Schilder

Escribes: **El hemisferio sur también está cargado**. ¿Dónde está este hemisferio en el problema?

Respuestas (3)

¿Por qué el autor eligió esto como el campo eléctrico?

El libro de texto de referencia es "Introducción a la electrodinámica" David J. Griffiths, 4ª edición. No es un problema sino un ejemplo de cómo usar el tensor de tensión de Maxwell y la ecuación. 8.21 para determinar las fuerzas netas: $\begin{matrix} (8.21) & F = \oint_{S} \overset{\leftrightarrow}{T} \cdot d a (estático). \end{matrix}$ $\mathbf{F}=\oint_S \overleftrightarrow{\mathbf{T}}\boldsymbol{\cdot} d \mathbf{a} \qquad \textrm{(static).} \tag{8.21}$ Por lo tanto, lea atentamente el 'CAPÍTULO 8 Leyes de conservación' y la solución dada en el ejemplo.
Rechacé su pregunta porque no hizo ningún esfuerzo por su parte.
Entre otros, por "sin esfuerzo" quiero decir que ni siquiera pasa de la página 364 a las páginas 365,366 para leer la solución completa. Parece que solo tienes una fotocopia de la página 364 y crees que la respuesta es la ecuación encerrada en un círculo rojo (por ti). La respuesta está en la página 365. $\begin{matrix} (8.26) & F = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{3 q^{2}}{dieciséis R^{2}} \end{matrix}$ $F=\dfrac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\dfrac{3Q^{2}}{16R^{2}} \tag{8.26}$ idéntico al dado también en el problema 2.47 (página 108), ya que podrías asegurarte si tendrías el libro de texto a mano en el futuro.
Nuevamente, repito el comentario que hice a la respuesta dada a continuación. No estoy preguntando cómo el autor encontró la fuerza neta, estoy preguntando sobre 1 paso simple en su solución. No veo por qué ambos parecen pensar que estoy preguntando sobre la respuesta final , estoy preguntando sobre el paso 2 de su razonamiento.
OK entonces. Debido a la simetría esférica el vector $\:\mathbf{E}(\mathbf{r})\:$ es normal a la superficie esférica y constante en magnitud $\:\vert\mathbf{E}\vert\:$ en esta superficie. De la Ley de Gauss $\oint_{S} mi \cdot d a = \frac{1}{ϵ_{0}} q_{enc} ⟹ | mi | 4 π R^{2} = \frac{1}{ϵ_{0}} q ⟹ mi = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{q}{R^{2}} \hat{r}$ $\oint_S \mathbf{E}\boldsymbol{\cdot} d \mathbf{a}=\dfrac{1}{\epsilon_{0}}Q_{\textrm{enc}} \Longrightarrow \vert\mathbf{E}\vert 4\pi R^{2}=\dfrac{1}{\epsilon_{0}}Q \Longrightarrow \mathbf{E}=\dfrac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\dfrac{Q}{R^{2}}\mathbf{\hat{r}}$ (vea las páginas 71-72 del libro de texto)... y tenga cuidado: el hemisferio "sur" existe aunque no se muestra en la Figura 8.4 .
Gracias. Con respecto al método de la Ley de Gauss, esto fue todo, debería haber revisado un capítulo anterior. Gracias de nuevo.
Escribes: **El hemisferio sur también está cargado**. ¿Dónde está este hemisferio en el problema?

mike piedra · Answer 1

No estás respondiendo a la pregunta que se hizo. No se le pidió que calculara la fuerza debida al campo eléctrico sumando la fuerza en cada parte del hemisferio superior debido a las cargas en la mitad inferior. En su lugar, se le pidió que utilizara el tensor de tensión de Maxwell. La magia del tensor de tensión es que solo necesitas saber el campo eléctrico total (debido a las cargas en ambos hemisferios) en el $surface$ de la parte del objeto de interés. El campo eléctrico total en la superficie curva de la parte superior es el campo radial hacia afuera de toda la esfera de carga. (tendrá que trabajar un poco para calcular el campo E en la superficie plana). La respuesta de la tensión de Maxwell, por supuesto, será la misma que la fuerza debida a las cargas del hemisferio inferior sobre las del hemisferio superior. Esto se debe a que la fuerza total sobre las cargas en el hemisferio superior debido a las cargas solo en el hemisferio superior es cero.

Tenga en cuenta que no estaba pidiendo ayuda con la totalidad del problema, solo el paso donde encuentra $\vec{E}$ .
Entonces es banal. Su respuesta es el campo eléctrico debido a toda la esfera sólida de carga, que en su superficie es igual al de una carga puntual en su centro.

Acumulación · Answer 2

Mi conjetura podría ser que está usando este concepto (corríjame si lo digo mal): cuando tiene una esfera sólida que tiene una carga uniforme, puede pretender que la totalidad de la carga está ubicada en su centro.

No, ese no es el concepto. El concepto es que las leyes físicas son isotrópicas: cualquier asimetría en el resultado de una configuración debe resultar de la asimetría de esa configuración. Como la carga es esféricamente simétrica, el campo eléctrico debe ser esféricamente simétrico. Si hubiera algún punto en la superficie de la esfera que tuviera un campo eléctrico mayor que otro punto, entonces esos puntos se distinguirían de alguna manera, pero no hay nada en el enunciado del problema que permita distinguir estos puntos. Por lo tanto, cada punto de la superficie debe tener la misma magnitud de campo eléctrico. Podemos calcular esta magnitud tratando la esfera como si fuera una superficie gaussiana.

sabueso · Answer 3

Para responder a un comentario anterior preguntando dónde está el hemisferio sur: el gráfico en Griffiths es engañoso. Tenga en cuenta que el problema establece encontrar la fuerza neta en el hemisferio norte de una esfera sólida cargada .

Por eso se tomó el campo eléctrico como $\vec{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\cdot\frac{Q}{R^2}$ . Si uno solo tiene un hemisferio cargado, de ninguna manera es obvio cuál será el campo eléctrico en la superficie. De hecho, es probable que ni siquiera sea constante en la superficie debido a la falta de simetría esférica.

¿Por qué el autor eligió esto como el campo eléctrico?

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