Encontrar un sistema equivalente de un cilindro infinitamente largo con vector de polarización P⃗ =Py^P→=Py^\vec P = P\hat y

La polarización provocará un desplazamiento de toda la carga positiva en relación con la carga negativa en la dirección y, de modo que una vista superior de los cilindros se verá así:

Dado que el vector de polarización apunta en la dirección y positiva, el vector de momento del dipolo eléctrico apuntará en la misma dirección, lo que indica que el cilindro con carga negativa está a la izquierda y el de carga positiva a la derecha ($\vec{p}$puntos de carga negativa a positiva)

Ahora, todo lo que tienes que hacer es encontrar el potencial usando los polinomios de Legendre (al menos así lo resuelve Griffiths), luego tomar el gradiente para encontrar el campo eléctrico tanto fuera como dentro del cilindro.

Nota al margen:

Sin embargo, hay un buen truco que puede usar para encontrar el campo eléctrico debido al cilindro (creo que es relevante para su pregunta y quiero exponerlo). Tenga en cuenta, sin embargo, que esto solo se puede usar cuando el la polarización es constante en una dirección, como en su caso. Puede aprovechar esta polarización constante que desplaza efectivamente todas las cargas negativas y positivas la misma distancia entre sí. Luego, trata la situación como la de dos cilindros separados con una densidad de carga de volumen constante ($\rho_0$) Sea R el radio del cilindro

dentro del cilindro

$\vec{E}$=$\frac{\rho_0 r}{2\epsilon_0}$(Fórmula general para el campo E dentro de un cilindro cargado uniformemente)

Entonces, de los dos cilindros (consulte la figura)

$\vec{E_{net}}$=$\frac{\rho_0 \vec{r}}{2\epsilon_0}-\frac{\rho_0 (\vec{r}-\delta \vec{r})}{2\epsilon_0} =\frac{\rho_0 \vec{\delta r}}{2\epsilon_0}=-\frac{\vec{P}}{2\epsilon_0}$

Fuera del cilindro

$\vec{E}$=$\frac{\rho_0 R^2}{2\epsilon_0 r}=\frac{Q}{2 \pi \epsilon_0 hr}$(Fórmula general para el campo E fuera del cilindro cargado uniformemente)

Entonces, de los dos cilindros (consulte la figura)

$\vec{E_{net}}$=$\frac{1}{2 \pi \epsilon_0 h}(\frac{Q}{r}-\frac{Q}{r-\delta r})\hat{r}=\frac{1}{2 \pi \epsilon_0 h}\frac{\vec{p}}{r^2}\hat{r}$, dónde$\vec{p}$es el momento dipolar neto en el volumen$(\vec{p}=\vec{P}V)$

$\vec{E_{net}}$=$\frac{\vec{P} R^2}{2 \epsilon_0 r^2}$

¡Espero haber respondido a tu pregunta!