Proyectiles cargados esféricamente con conexión a tierra

Considere dos capas esféricas concéntricas de radios a y 2 a respectivamente. Deje que la capa interna tenga potencial. V 0 y la capa exterior esté conectada a tierra. cual es el potencial V ( r ) en función de la distancia al centro de los cascarones, y ¿cuáles son las cargas en los cascarones?

Así abordaría yo el problema. Dejar q i y q o Sea la carga en la capa interna y externa respectivamente. Poner

V ( r ) = − ∫ 2 a r mi → ( r ′ ) ⋅ d r ^ ′ .

Desde mi ( r ) = 0 para r < a ,

mi ( r ) = q i / ( 4 π ϵ 0 r 2 ) para a < r < 2 a

mi ( r ) = ( q i + q o ) / ( 4 π ϵ 0 r 2 ) , esto nos da

V ( r ) = q i / ( 8 π ϵ 0 a ) para r < a , V ( r ) = q i ( 2 a / r − 1 ) / ( 8 π ϵ 0 a ) para a < r < 2 a

V ( r ) = ( q i + q o ) ( 2 a / r − 1 ) / ( 8 π ϵ 0 a ) para 2 a < r .

Ahora requiriendo eso V ( a ) = V 0 , obtenemos q i = 8 π ϵ 0 a V 0 . Pero que pasa q o ? De la forma del potencial obtenemos inmediatamente V ( 2 a ) = 0 , independientemente del valor de q o .

En la respuesta al problema dice que q o = − q i . También se afirma directamente que V ( r ) = 0 para r > 2 a , pero, francamente, no veo por qué eso se deduce de la suposición de que la capa exterior está conectada a tierra.

¿Todo se basa en la suposición implícita de que V ( ∞ ) = 0 , lo que hace que mi definición de V ( r ) ¿equivocado? ¿ Ciertamente no estamos obligados a hacer esta suposición?

Respuestas (2)

Con la capa exterior conectada a tierra una vez que coloque una carga de + q i en el lado exterior de la capa interior entonces una carga de − q i se inducirá en el lado interior de la capa exterior.
Piense en ello como si no hubiera un campo eléctrico dentro de un conductor, por lo que cada línea de campo eléctrico que comienza con una carga en la superficie exterior de la esfera interior debe terminar con una carga opuesta en la superficie interior de la esfera exterior.

Entonces, solo hay un campo eléctrico entre la capa interna y la externa, por lo que esta es la única región donde cambia el potencial eléctrico.

Si se considera que la tierra es el potencial cero, lo que suele ser el caso, entonces la capa exterior también debe tener un potencial cero si está conectada a tierra.

Si piensa en la ley de Gauss y considera una superficie gaussiana esférica centrada en el centro de las capas esféricas, entonces si a ≤ r ≤ 2 a la carga encerrada por la superficie es + q i .
Una vez que tengas r > 2 a la carga encerrada es cero, + q i − q i = 0 y así el campo eléctrico fuera de la esfera exterior es cero.

r > 2 a entonces mi = 0 y V = 0

a ≤ r ≤ 2 a entonces mi = 1 4 π ϵ o q i r 2 y V = 1 4 π ϵ o q i r

r < a entonces mi = 0 y V = 1 4 π ϵ o q i a

¡Gracias! Pero, ¿y si cambiamos un poco la redacción del problema? En lugar de decir que la capa exterior está conectada a tierra, decimos que su potencial es cero. Además, no necesitamos suponer que las conchas son láminas metálicas. Digamos que tenemos dos distribuciones de carga localizadas en dos capas esféricas.
Si la capa exterior no está conectada a tierra, habría un cargo de − q i en la superficie interior de la capa exterior y una carga de + q i en la superficie exterior de la capa exterior.
Entonces, ¿la capa exterior no tendría carga neta? Entonces no tendríamos V ( 2 a ) = 0 ?
En relación con el suelo (el cero de potencial), la esfera exterior tendría un potencial distinto de cero porque tendría que realizarse un trabajo para mover la carga desde el suelo hasta la esfera exterior.
Lo siento por mi respuesta tardía. No entiendo muy bien lo que quieres decir. Seguramente sería posible tener una capa esférica con carga. q i rodeado por una capa esférica sin conexión a tierra con carga − q i . Entonces el potencial dentro y fuera de la capa exterior sería cero. ¿Correcto? ¿Cuál es entonces la diferencia entre decir que el caparazón está conectado a tierra y decir que su potencial es cero?
Puedes elegir el cero de potencial donde quieras.
Mi punto era que si tenemos un caparazón con carga q i rodeado por un caparazón con carga − q i , entonces, incluso nosotros elegimos V ( ∞ ) = 0 , el potencial en la capa exterior será cero, incluso si no está conectado a tierra. ¿Correcto? Estoy tratando de entender lo que logra la puesta a tierra.
La conexión a tierra logra una referencia que no cambia en potencial. Cualquier adición o sustracción adicional de carga a la capa exterior aislada cambiará su potencial. Esto no sucedería si la capa exterior está conectada a tierra.
Lo siento, soy tan terco. Pero en este problema en particular, obtendríamos el mismo potencial y las mismas cargas en las capas, ya sea que digamos que la capa exterior está conectada a tierra o que su potencial simplemente sea cero. ¿Correcto?
Si el mundo exterior no ve cargas en la superficie exterior de la capa exterior, entonces no es necesario realizar ningún trabajo. Estoy moviendo la carga hacia la capa exterior, de modo que donde comience la carga tendrá el mismo potencial que la capa exterior.

Su definición del campo para r > 2 a es correcto. Pero para q i = − q 0 el campo es cero. La carga inducida en la superficie interior de la esfera exterior puesta a tierra debe, según la ley de Gauss, ser − q i = q 0 (no hay campo en el metal). Además, debido a que la esfera exterior se encuentra en el potencial de tierra, no puede haber campo fuera de la esfera (sin cargas superficiales exteriores inducidas) porque no hay diferencia de potencial con el entorno.

¡Gracias! Pero, ¿y si cambiamos un poco la redacción del problema? En lugar de decir que la capa exterior está conectada a tierra, decimos que su potencial es cero. Además, no necesitamos suponer que las conchas son láminas metálicas. Digamos que tenemos dos distribuciones de carga localizadas en dos capas esféricas.
@Etienne Bezout: si asume que el potencial de la capa externa es cero, entonces la pregunta es si también asume, como de costumbre, que el potencial externo es cero para r − > i norte F i norte i t y . Si este es el caso, entonces no hay un campo externo como en la situación de puesta a tierra. Si asume dos cargas inmóviles (diferentes) localizadas uniformemente en esferas concéntricas, tiene, en general, un campo exterior y puede usar la ley de Gauss para determinarlo.
Muy bien, entonces creo que se puede concluir que mi definición del potencial es incorrecta, porque implícitamente se supone que hemos fijado V ( ∞ ) = 0 , y los valores V ( a ) = V 0 , V ( 2 a ) = 0 descansar en esta suposición.
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