Campo eléctrico debido a una esfera cargada

Para ser honesto, acabo de enterarme de todo esto en los últimos meses, por lo que no estoy seguro de si esto es realmente correcto.

Como tienes esta simetría esférica, creo que necesitas armónicos esféricos. Son funciones ortogonales, piensa en ellas como una serie de Fourier en la superficie de una esfera.

Tu densidad de carga$\sigma$no depende de$\phi$, por lo tanto, podemos usar los polinomios de Legendre más simples, donde$m = 0$. Primero, queremos expresar el potencial así:

$$\varphi(\vec x) = \frac1{\varepsilon_0} \sum_{l=0}^\infty \frac{1}{2l+1} \varrho_{l} \frac{1}{r^{l+1}} Y_{l,0} (\theta, \phi)$$

los coeficientes$\varrho_l$están dadas por:

$$\varrho_l = \int \mathrm d^3 x'\, r'^l \varrho(\vec x) Y^*_{l,0} (\theta', \phi')$$

Ahora con

$$Y^*_{l,0}(\theta', \phi') = \sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}} P_l(\cos \theta')$$ y $$P_0(x) = 1 ,\quad P_1(x) = x$$ podemos calcular los coeficientes.

Pero primero, necesitamos convertir la densidad de carga superficial$\sigma$en una densidad de carga volumétrica. Para eso, usamos el$\delta$-distribución:

$$\varrho(\vec x) = \delta(r-R) \sigma_0 \cos(\theta)$$

Si los enchufa en el$\varrho_l$, conseguirás$\varrho_0 = 0$y$\varrho_1 = \sqrt{\frac{3}{4 \pi}} \frac{4}{3} \pi R^3 \sigma_0$. Espero que esto sea correcto.

Entonces podemos poner esto en la primera fórmula y obtener$\varphi$:

$$\varphi(\vec x) = \frac{1}{\varepsilon_0} \sqrt{\frac{3}{4 \pi}} \frac{4}{3} \pi R^3 \frac{1}{r^2} \sigma_0 \cos \theta$$

Dado que este es un potencial dipol puro, el$1/r^2$parece correcto. Y si nos fijamos en las dimensiones, el$R^3 \sigma_0 / r^2$tener solo la carga/longitud necesaria.

Los armónicos esféricos pueden ser excesivos, tal vez haya un método más simple para hacer esto.