Determinante de una matriz semidefinida positiva

Para una matriz hermitiana$A$para ser positivo semidefinido, es necesario que sus principales principales menores sean no negativos, pero no es suficiente como muestra el siguiente ejemplo:

Considere la matriz

$$A = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{bmatrix}$$ con ambos principales principales menores $$M_{0} = \det(A) = 0*(-1) - 0*0 = 0,$$

$$M_{1} = \det(A_{2,2}) = \det(\begin{bmatrix} 0 & \square \\ \square & \square \\ \end{bmatrix}) = \det(\begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix}) = 0,$$ no negativo, pero$A$no es semidefinido positivo ya que tiene un valor propio negativo$-1$.

Para comprobar si una matriz hermítica$A$es positivo semidefinido, se debe probar si todos los principales menores (no solo los principales principales menores) son no negativos. ( prueba )

Si nos fijamos en el ejemplo anterior, los menores principales son

$$M_{0,0} = \det(A) = M_0 = 0,$$

$$M_{1,1} = \det(A_{1,1}) = \det(\begin{bmatrix} \square & \square \\ \square & -1 \\ \end{bmatrix}) = \det(\begin{bmatrix} -1 \end{bmatrix}) = -1,$$

$$M_{2,2} = \det(A_{2,2}) = M_1 = 0.$$

Vemos eso$M_{1,1}$es negativa, por lo que la matriz no es semidefinida positiva.