Producto de una matriz simétrica y antisimétrica

Question

Producto de una matriz simétrica y antisimétrica

matrices
Matemáticas
productos internos
álgebra lineal
matrices-simétricas
Matrices asimétricas sesgadas

Estudiante W

Tengo la siguiente pregunta sobre matrices, Let $S$ y $A$ ser dos $n \times n$ matrices que son respectivamente simétricas y antisimétricas. ¿Puedo concluir algo sobre los productos? $SA$ o $AS$ , ¿son simétricos o antisimétricos?

Esto es parte de un problema mayor donde ya he mostrado,

⟨ X, A X ⟩ = 0

$\langle x, Ax \rangle = 0$ Para

A

$A$ antisimétrico, pero requiero que

⟨ METRO X, A X ⟩ = 0

$\langle Mx, Ax \rangle = 0$ Para alguna matriz M, ¿qué condiciones podría imponer a

M

$M$ para satisfacer esto, esperaba que la simetría fuera suficiente o necesito algo más fuerte como la diagonal?

Respuestas (1)

Producto de una matriz simétrica y antisimétrica

De adentro hacia afuera · Answer 1

El producto de matriz no conserva la propiedad simétrica ni antisimétrica. Un ejemplo sencillo de este fenómeno es el siguiente.

Elegir

S = (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}) y A = (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) .

$S=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 &2 \end{pmatrix} \quad \text{and} \quad A= \begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 &0 \end{pmatrix}.$

Entonces

S A = (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & - 2 \\ 2 & - 1 \end{matrix})

$SA=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 &2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 &0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & -2\\ 2 &-1 \end{pmatrix}$

que es simétrico ni antisimétrico. Similarmente,

A S = (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 & - 2 \\ 2 & 1 \end{matrix})

$AS= \begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 &0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 &2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -1 & -2\\ 2 &1 \end{pmatrix}$

Nuevamente, esto no es simétrico ni antisimétrico.

Producto de una matriz simétrica y antisimétrica

Estudiante W

Respuestas (1)

De adentro hacia afuera

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