Signo de los valores propios del producto de 3 matrices

Question

Signo de los valores propios del producto de 3 matrices

matrices
Matemáticas
matrices-simétricas
semidefinido positivo
valores propios-vectores propios

Djekt

Estoy tratando de encontrar el signo de los valores propios de cierto $n\times n$ matriz simétrica $M$ . Sé que puedo escribir esta matriz como

METRO = PAG D {PAG}^{T},

$M = PDP^T,$

con $D$ $p\times p$ diagonal con entradas positivas o nulas, y $P$ a $n \times p$ matriz. ¿Puedo concluir que los valores propios de $M$ son positivos o nulos?

gerry myerson

El número de valores propios de

M

$M$ no es lo mismo que el número de entradas de

D

$D$ .

Juan María

Si

M

$M$ es

n \times n

$n \times n$ , estamos de acuerdo en que

P

$P$ es

n \times p

$n \times p$ (

n

$n$ filas,

p

$p$ columnas) con

p > n

$p>n$ , mientras

D

$D$ es

p \times p

$p \times p$ ?

gerry myerson

@Jean, si

P

$P$ es

n \times p

$n\times p$ , y

D

$D$ es

n \times n

$n\times n$ , entonces

P D

$PD$ no está definido.

gerry myerson

¿Has intentado trabajar con algún ejemplo, Djekt?

Juan María

@Gerry Myerson Tienes razón. Acabo de corregir mi comentario...

Djekt

Lo siento, hubo un error estúpido en mi pregunta, edité mi pregunta.

Juan María

¿Puedes decir si

n > p

$n>p$ o

n < p

$n<p$ ?

Djekt

En mi caso,

n > p

$n>p$ .

Respuestas (2)

Signo de los valores propios del producto de 3 matrices

El número de valores propios de $M$ no es lo mismo que el número de entradas de $D$ .
Si $M$ es $n \times n$ , estamos de acuerdo en que $P$ es $n \times p$ ( $n$ filas, $p$ columnas) con $p>n$ , mientras $D$ es $p \times p$ ?
@Jean, si $P$ es $n\times p$ , y $D$ es $n\times n$ , entonces $PD$ no está definido.
@Gerry Myerson Tienes razón. Acabo de corregir mi comentario...
Lo siento, hubo un error estúpido en mi pregunta, edité mi pregunta.

md5 · Answer 1

Para todos $x\in\mathbb{R}^n$ ,

⟨ X, METRO X ⟩ = ⟨ X, PAG D {PAG}^{T} X ⟩ = ⟨ {PAG}^{T} X, D {PAG}^{T} X ⟩ = ⟨ D^{1 / 2} {PAG}^{T} X, D^{1 / 2} {PAG}^{T} X ⟩ \geq 0.

$\langle x, Mx\rangle=\langle x, PDP^T x\rangle=\langle P^T x, DP^T x\rangle=\langle D^{1/2} P^T x, D^{1/2} P^T x\rangle\ge 0.$

Entonces todos los valores propios de $M$ son no negativos.

Stefanos Van Dijk · Answer 2

Un par de cosas que es útil tener en cuenta. $PP^\top$ es simétrico positivo semidefinido.

Pienso además, denotar $\lambda_1,d_1$ el valor propio más pequeño de $PP^\top$ y la entrada más pequeña de la diagonal principal de $D$ respectivamente. $\lambda_2,d_2$ para mas grande. Entonces creo $\sigma(PDP^\top)\subset[\lambda_1d_1, \lambda_2d_2]$ por la Desigualdad de Cauchy sobre productos de matrices.

Creo que esto da la respuesta a su problema.

¿Podría proporcionar un enlace/referencia a "Desigualdad de Cauchy en productos de matriz"?
Cauchy-Schwartz vale para cualquier norma. Tomar como norma $||A|| = max eigenvalue of A$ y usa ||P^TAP|| = ||A||||P^TP||. Alternativamente, mire la solución @md5, que es mucho más clara/más concreta.
Gracias por aclarar, no estaba seguro de que te estuvieras refiriendo a CS. Supongo que por su versión de "producto de matriz" quiere decir que el producto interno considerado es el producto interno de frobenius en matrices. De todos modos, para ser honesto, no estoy seguro de ver cómo usar CS para probar el límite inferior del espectro.

Signo de los valores propios del producto de 3 matrices

Djekt

gerry myerson

Juan María

gerry myerson

gerry myerson

Juan María

Djekt

Juan María

Djekt

Respuestas (2)

md5

Stefanos Van Dijk

Surb

Stefanos Van Dijk

Surb

¿Por qué A−1−P(PTAP)−1PTA−1−P(PTAP)−1PT A^{-1} - P \left( P^TAP \right)^{-1}P^T es definido positivo aquí?

Límite inferior en el valor propio más pequeño de la matriz (simétrica definida positiva)

¿Cómo obtener los mismos vectores propios de un valor propio degenerado a medida que la matriz evoluciona ligeramente?

Valores propios enteros en Matlab

Determinante de una matriz semidefinida positiva

Encuentre todos los valores propios de la matriz AAA sin calcular su c. polinomio

Radio espectral de un gráfico bipartito completo

Construya una matriz real para valores propios complejos dados

¿Cuál es el camino más corto para resolver una matriz con elementos desconocidos y un vector propio?

Una duda de álgebra lineal