Desigualdad con respecto a la norma de una matriz definida positiva

Pruebalo

a T A 2 a a T A a ≤ ‖ A ‖
dónde A es un norte × norte matriz definida positiva simétrica y a ∈ R norte ∖ { 0 norte } .

La norma de un vector aquí es la norma euclidiana y la norma de una matriz A es

‖ A ‖ = máximo { ‖ A X ‖ : ‖ X ‖ = 1 }
y si A es simétrico entonces
‖ A ‖ = máximo { | X T A X | : ‖ X ‖ = 1 }
y también igual al mayor valor propio de A .

De este teorema min-max tenemos que

λ min ‖ X ‖ 2 ≤ X T H X ≤ λ máximo ‖ X ‖ 2

dónde λ min , λ máximo son los valores propios más pequeños y más grandes de la matriz hermítica H . Entonces tenemos

a T A 2 a a T A a ≤ λ máximo 2 λ min

Para probar la desigualdad en la pregunta, necesitamos demostrar que λ metro a X 2 λ min ≤ λ máximo lo que implica λ máximo λ min ≤ 1 . Tenemos ‖ A ‖ = λ máximo y ‖ A − 1 ‖ = 1 λ min pero por el contrario es un hecho que ‖ A ‖ ‖ A − 1 ‖ ≥ 1 . ¿Dónde me he equivocado y cómo probamos esta desigualdad?

Creo que tu problema radica en el hecho de que no debes considerar los valores propios máximos y mínimos, porque el vector a es el mismo en el denominador y el denominador. Escribiré la solución completa en un segundo.
Entonces estás diciendo que he sobreestimado al tomar λ metro a X 2 λ metro i norte ¿bien?
eso es de hecho lo que estoy diciendo

Respuestas (2)

Desde A es simétrico y definido positivo, tiene raíz cuadrada definida simétrica y positiva A 1 2 y λ máximo ( A ) = ‖ A ‖ 2 , es decir, el radio espectral es igual a la norma espectral. Dejar v := A 1 2 tu . Por eso,

tu ⊤ A 2 tu tu ⊤ A tu = tu ⊤ A 1 2 A A 1 2 tu tu ⊤ A 1 2 A 1 2 tu = v ⊤ A v v ⊤ v ≤ λ máximo ( A ) = ‖ A ‖ 2

en realidad necesitamos tu T A 2 tu tu T A tu ≤ ‖ A ‖ . Sabemos por aquí que existe una raíz cuadrada definida positiva simétrica de A , di cual es R aquí. Entonces nosotros tenemos ‖ R T v ‖ 2 ‖ v ‖ 2 ≤ ‖ R T ‖ 2 = ‖ A ‖ .
No sigo del todo. Nosotros necesitamos ‖ A ‖ de acuerdo con el problema, entonces en su prueba necesitamos obtener ‖ A ‖ como límite superior.
Si, aunque el λ parte es innecesaria porque tenemos para matriz A y vectores v , ‖ A v ‖ ≤ ‖ A ‖ ‖ v ‖ . Así que directamente tenemos ‖ A 1 / 2 v ‖ 2 ‖ v ‖ 2 ≤ ‖ A 1 / 2 ‖ 2 = ‖ A ‖ .
Creo que ahora es correcto. La prueba sigue acortándose.
Tenemos v T A v v T v ≤ ‖ A ‖ directamente de la definición de norma de una matriz simétrica. Porque v T A v v T v = v T A v ‖ v ‖ 2 = v T ‖ v ‖ A v ‖ v ‖ ≤ ‖ A ‖ .
Sí, lo más corto y ordenado es lo mejor, ¿no crees? Gracias por su respuesta.
¿Cómo llegaste a esa desigualdad? También se podría usar la SVD de A para concluir que el radio espectral y la norma espectral son iguales.
Todavía no sé sobre el radio espectral y la norma espectral, pero v T ‖ v ‖ A v ‖ v ‖ es de la forma X T A X dónde ‖ X ‖ = 1 , y ‖ A ‖ es el máximo de estos.
Me gusta la demostración tal como está porque el último paso se deriva del hecho de que A es simétrica y definida positiva.

Dejar A = X Λ X − 1 Sea la descomposición en valores propios de la matriz, esta siempre debe existir para una matriz definida positiva. También, a = m 1 v 1 + . . . denota la descomposición de a en los vectores propios de A .

Entonces a T A 2 a a T A a = ∑ m i 2 λ i 2 ∑ m i 2 λ i .

Al calcular la derivada, encontramos que los puntos críticos permiten solo una m i ser distinto de cero. Esto prueba que a debe ser un vector propio.

Debería a ser un vector propio con valor propio λ i , ∑ m i 2 λ i 2 ∑ m i 2 λ i reduce a λ i que es más pequeño que la norma de A .

Gracias. ¿Es posible dar una respuesta que no requiera la derivada?
No puedo pensar en algo que no requiera un derivado. Tal vez alguna teoría sobre funciones racionales. No es mi área de especialización.
Desigualdad con respecto a la norma de una matriz definida positiva
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v