Matriz definida positiva para proyección

Dados dos vectores$u$y$v$en$\mathbb{R}^n$tal que$u^Tv \neq 0$y$u \neq \alpha v$para cualquier escalar$\alpha$. Dejar$v^\perp$ser un subespacio al que$v$es ortogonal. Una base ortogonal$[s_1, s_2,\ldots,s_{n-1}]$porque tal subespacio puede generarse mediante algún enfoque estándar. Quiero una matriz definida positiva simétrica$A \in \mathbb{R}^{n\times n}$tal que$A$proyectos vectoriales$u$en$v^\perp$o lapso($s_1,s_2,\ldots,s_{n-1}$) es decir$Au \in v^\perp$o$v^TAu=0$.

Si$d \in v^\perp$Sea un vector a lo largo de la proyección ortogonal de$u$en$v^\perp$entonces$A=\frac{dd^T}{d^Td}$(simétrico). En otras palabras, ¿podemos encontrar tal$d$para cual$\frac{dd^T}{d^Td}$matriz es definida positiva?