Demostrar que una matriz es idempotente usando álgebra

Como es simétrico, es diagonalizable. esta claro de$A$la segunda columna que$1$es un valor propio y, dado que la tercera columna es menos la primera,$\det A=0$, y por lo tanto$0$es un valor propio también. Y$\operatorname{tr}A=2$. Entonces,$1$es, de hecho, un valor propio doble. Por lo tanto,$A$es parecido a

$$\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix},$$ y por lo tanto es idempotente.

Una forma de mostrar que un objeto es idempotente es duplicarlo, restarle la identidad y comprobar si el resultado es (multiplicativamente) autoinverso. por ejemplo en$\mathbb Z/10\mathbb Z$tenemos$2×5-1\equiv-1$que es autoinverso, entonces$5$es idempotente en$\mathbb Z/10\mathbb Z$. (Tenga en cuenta que esto funciona en dominios que no son de características$4n$para positivo$n$. )

En este problema, duplicar y restar la identidad conduce a

$\begin{bmatrix}0&0&-1\\0&1&0\\-1&0&0\end{bmatrix},$

en el que un intercambio de la primera y la tercera fila y los elementos diagonales de la matriz diagonal resultante son trivialmente autoinversos. Entonces, la condición auto-inversa se cumple para la matriz derivada, asegurando que la original sea idempotente.