¿Por qué ℓ=0ℓ=0\ell=0 corresponde a soluciones esféricamente simétricas para los armónicos esféricos?

Question

¿Por qué ℓ=0ℓ=0\ell=0 corresponde a soluciones esféricamente simétricas para los armónicos esféricos?

usuario24082

En mecánica cuántica, ¿por qué los estados con $\ell=0$ en el átomo de hidrógeno corresponden a armónicos esféricos esféricamente simétricos?

xish

¿Quiere decir esto en el sentido conceptual o matemático?

usuario24082

Supongo que ambos serían una delicia.

Geoffrey

¿Estás preguntando por qué?

Y_{0}^{0} (θ, ϕ)

$Y_0^0(\theta,\phi)$ es esféricamente simétrico, o por qué los armónicos esféricos son parte de la solución, o por qué el estado con momento angular cero es esféricamente simétrico? En realidad, la respuesta a cualquiera de esas preguntas bien podría ser: porque las matemáticas así lo dicen.

usuario24082

Estoy preguntando por qué SOLO los estados con momento angular cero son simétricos.

joshfísica

¿Es usted consciente de que sólo hay un único estado con

ℓ = 0

$\ell = 0$ , a saber

Y_{0}^{0}

$Y^0_0$ , y es constante y por lo tanto esféricamente simétrica.

eslavos

Tener un momento angular distinto de cero significa que tiene que apuntar a alguna parte, por lo tanto, no todas las direcciones en el espacio son equivalentes, por lo tanto, la falta de simetría esférica.

BMS

@Slaviks Buena respuesta intuitiva.

Respuestas (2)

¿Por qué ℓ=0ℓ=0\ell=0 corresponde a soluciones esféricamente simétricas para los armónicos esféricos?

¿Estás preguntando por qué? $Y_0^0(\theta,\phi)$ es esféricamente simétrico, o por qué los armónicos esféricos son parte de la solución, o por qué el estado con momento angular cero es esféricamente simétrico? En realidad, la respuesta a cualquiera de esas preguntas bien podría ser: porque las matemáticas así lo dicen.
Estoy preguntando por qué SOLO los estados con momento angular cero son simétricos.
¿Es usted consciente de que sólo hay un único estado con $\ell = 0$ , a saber $Y^0_0$ , y es constante y por lo tanto esféricamente simétrica.
Tener un momento angular distinto de cero significa que tiene que apuntar a alguna parte, por lo tanto, no todas las direcciones en el espacio son equivalentes, por lo tanto, la falta de simetría esférica.

Adán · Answer 1

Una forma de entenderlo es reconocer que para el armónico esférico $|l,m\rangle$ con $l=0$ (y obviamente $m=0$ ), tenemos $\hat L_i|0,0\rangle=0$ , dónde $\hat L_i$ es el operador de momento angular en la dirección $i=x,y,z$ . es obvio para $\hat L_z$ , cuyo valor propio es $m=0$ , y se puede verificar para los otros dos.

Entonces, el operador de rotación $\hat R(\theta)$ alrededor de una dirección $\vec n$ con ángulo $\theta$ es dado por

\hat{R} (θ) = Exp (i θ \vec{norte} . \vec{\hat{L}})

$\hat R(\theta)=\exp(i\theta \,\vec n . \vec{\hat L} )$ de donde vemos claramente que el estado

| 0, 0 ⟩

$|0,0\rangle$ es invariante para todas las rotaciones:

\hat{R} (θ) | 0, 0 ⟩ = | 0, 0 ⟩

$\hat R(\theta)|0,0\rangle=|0,0\rangle$ y por lo tanto es esféricamente simétrica.

En esta formulación, ves que es el único estado así. También puede demostrar que el estado $|l,0\rangle$ es axialmente simétrica (a lo largo $z$ ), etc. Vea, por ejemplo, esta bonita imagen: ingrese la descripción de la imagen aquí

usuario35033 · Answer 2

Supongamos que existiera una función de onda esféricamente simétrica $\psi({\bf r})=f(r)$ para cual $l\neq0$ . Esto no puede ser, porque si calculamos $\langle \psi | L^2 | \psi \rangle$ siempre obtendremos cero, ya que cada término en $L^2$ tiene derivadas con respecto a $\theta$ y $\phi$ .

Conceptualmente hablando, un estado esféricamente simétrico le da al electrón la opción de estar en órbita alrededor de cualquier eje. En otras palabras, orbita alrededor de ningún eje.

¿Por qué ℓ=0ℓ=0\ell=0 corresponde a soluciones esféricamente simétricas para los armónicos esféricos?

usuario24082

xish

usuario24082

Geoffrey

usuario24082

joshfísica

eslavos

BMS

Respuestas (2)

Adán

usuario35033

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