¿Cómo se encuentra la función de onda de una partícula en su marco de reposo?

Question

¿Cómo se encuentra la función de onda de una partícula en su marco de reposo?

SRS

En mecánica clásica, el momento angular orbital de una partícula se define como $\textbf{L}=\textbf{r}\times\textbf{p}$ . Esto es cero en el marco de reposo de la partícula donde $\textbf{p}=0$ .

mecánicamente cuántica, $\textbf{p}$ es un operador. así que poniendo $\hat{\textbf{p}}=0$ en $\hat{\textbf{L}}=\hat{\textbf{r}} \times\hat{\textbf{p}}$ y afirmar que el momento angular orbital de una partícula cuántica es cero en su sistema de reposo no tiene sentido. Hay que mirar el valor de $\hat{\textbf{L}}^2$ sobre la " función de onda en el marco de reposo " de la partícula.

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qmecanico

Sugerencia: demuestre que el conmutador

[L_{i}, p_{j}]

$[L_i,p_j]$ es proporcional a

p_{k}

$p_k$ . Siguiente puesto

p = 0

$p=0$ .

Emilio Pisanty

¿Quién dice que una partícula cuántica (en cualquier cosa que no sea un estado propio de impulso de onda plana) tiene un marco de reposo para empezar?

Valter Moretti

Tu enfoque no es el correcto. La idea es empezar asumiendo la existencia del generador.

J

$J$ de rotaciones globales alrededor del origen satisfaciendo así las relaciones del álgebra de Lie de

S O (3)

$SO(3)$ y luego definir

S_{k} = J_{k} - (X \land P)_{k}

$S_k= J_k - (X \wedge P)_k$ . Es fácil probar, a partir de CCR de

X

$X$ y

P

$P$ que el

S_{k}

$S_k$ todavía definir una representación Lie álgebra relaciones de

S O (3)

$SO(3)$ y viajar con

X

$X$ y

P

$P$ . Posiblemente esta representación es trivial (es decir, no hay giro) de lo contrario el

S_{k}

$S_k$ definir el momento angular intrínseco.

Valter Moretti

También conocido (quizás incorrectamente) como momento angular en el marco de reposo del sistema. En realidad, a nivel cuántico la descripción es más delicada, y la existencia de no triviales

S_{k}

$S_k$ corresponden (usando el teorema de Stone von Neumann) a una factorización del espacio de Hilbert

H_{o r b} \otimes H_{i n t r i n s i c}

$H_{orb}\otimes H_{intrinsic}$ . El primer factor describe el estado orbital, donde

X

$X$ y

P

$P$ están definidos, este último describe las propiedades del sistema independientemente del estado orbital e incluye los operadores

S_{k}

$S_k$ (pero también el cargo por insatnce).

Valter Moretti

Esta es una mejor interpretación cuántica del marco de reposo del sistema.

SRS

@ValterMoretti En la mecánica cuántica no relativista, el giro se pone a mano. Estoy interesado en la parte espacial de la función de onda y muestro que la

⟨ L^{2} ⟩ = 0

$\langle \textbf{L}^2\rangle=0$ (donde la expectativa se toma con respecto a la función de onda del marco de reposo).

SRS

@EmilioPisanty No veo por qué es un problema que una partícula cuántica tenga un marco de reposo. ¿Tienes el principio de incertidumbre en mente?

Valter Moretti

@SRS Lo que escribí no depende de QM relativista/no relativista, solo de la existencia de una representación de un grupo de 3 rotaciones. Sin embargo, ahora, su punto es más claro. No está relacionado con la noción de spin.

Respuestas (1)

¿Cómo se encuentra la función de onda de una partícula en su marco de reposo?

Sugerencia: demuestre que el conmutador $[L_i,p_j]$ es proporcional a $p_k$ . Siguiente puesto $p=0$ .
¿Quién dice que una partícula cuántica (en cualquier cosa que no sea un estado propio de impulso de onda plana) tiene un marco de reposo para empezar?
Tu enfoque no es el correcto. La idea es empezar asumiendo la existencia del generador. $J$ de rotaciones globales alrededor del origen satisfaciendo así las relaciones del álgebra de Lie de $SO(3)$ y luego definir $S_k= J_k - (X \wedge P)_k$ . Es fácil probar, a partir de CCR de $X$ y $P$ que el $S_k$ todavía definir una representación Lie álgebra relaciones de $SO(3)$ y viajar con $X$ y $P$ . Posiblemente esta representación es trivial (es decir, no hay giro) de lo contrario el $S_k$ definir el momento angular intrínseco.
También conocido (quizás incorrectamente) como momento angular en el marco de reposo del sistema. En realidad, a nivel cuántico la descripción es más delicada, y la existencia de no triviales $S_k$ corresponden (usando el teorema de Stone von Neumann) a una factorización del espacio de Hilbert $H_{orb}\otimes H_{intrinsic}$ . El primer factor describe el estado orbital, donde $X$ y $P$ están definidos, este último describe las propiedades del sistema independientemente del estado orbital e incluye los operadores $S_k$ (pero también el cargo por insatnce).
Esta es una mejor interpretación cuántica del marco de reposo del sistema.
@ValterMoretti En la mecánica cuántica no relativista, el giro se pone a mano. Estoy interesado en la parte espacial de la función de onda y muestro que la $\langle \textbf{L}^2\rangle=0$ (donde la expectativa se toma con respecto a la función de onda del marco de reposo).
@EmilioPisanty No veo por qué es un problema que una partícula cuántica tenga un marco de reposo. ¿Tienes el principio de incertidumbre en mente?
@SRS Lo que escribí no depende de QM relativista/no relativista, solo de la existencia de una representación de un grupo de 3 rotaciones. Sin embargo, ahora, su punto es más claro. No está relacionado con la noción de spin.

AccidentalFourierTransformar · Answer 1

La función de onda de marco de reposo $\psi(\boldsymbol x,t)$ es el tal que

0 \equiv ⟨ pag ⟩ = \int_{R^{3}} ψ^{*} (X, t) (- i \nabla) ψ (X, t) d X

$\boldsymbol 0\equiv\langle \boldsymbol p\rangle=\int_{\mathbb R^3}\psi^*(\boldsymbol x,t)(-i\boldsymbol \nabla)\psi(\boldsymbol x,t)\ \mathrm d\boldsymbol x$

Si $\boldsymbol k\equiv\langle \boldsymbol p\rangle$ es distinto de cero, solo necesitamos redefinir la función de onda:

ψ (X, t) \to {mi}^{- i k \cdot X} ψ (X, t)

$\psi(\boldsymbol x,t)\to\mathrm e^{-i\boldsymbol k\cdot\boldsymbol x}\psi(\boldsymbol x,t)$ que satisface

⟨ p ⟩ \equiv 0

$\langle\boldsymbol p\rangle\equiv \boldsymbol 0$ por construcción. Esto es solo una traducción en el espacio de momento,

\tilde{ψ} (pag, t) \to \tilde{ψ} (pag - k, t)

$\tilde\psi(\boldsymbol p,t)\to \tilde\psi(\boldsymbol p-\boldsymbol k,t)$ que obviamente tiene media cero.

De manera más general, si tiene un sistema de muchas partículas, el marco de reposo del sistema es, por definición, aquel en el que $\langle\boldsymbol p\rangle\equiv\boldsymbol 0$ , dónde $\boldsymbol p$ denota el momento lineal total:

pag = \sum_{i} {pag}_{i}

$\boldsymbol p=\sum_i \boldsymbol p_i$

Esperaría que el "marco de reposo" de una partícula dada también obedezca $\langle p^2\rangle=0$ (y por lo tanto ser imposible de encontrar en general). ¿Es esta una terminología estándar (errónea) que me estoy perdiendo? Ponerse en un marco donde el impulso esperado es cero es bueno, pero eso no significa que la partícula "no se está moviendo" en ese marco, como lo implica el "descanso" en "marco de descanso".
@EmilioPisanty Reposar marco significa $\langle \boldsymbol p\rangle=0$ solo. no significa _ $\langle \boldsymbol p^2\rangle=0$ . Intentaré encontrar una buena referencia. Por ahora, es solo terminología. "Marco de reposo" significa impulso medio cero; no significa "no moverse en absoluto" (lo que sea que eso signifique) . En términos más clásicos, el marco de reposo de una colección de partículas es el marco donde se desvanece el momento total; pero hay una dispersión distinta de cero, $\Delta p\neq 0$ . De manera similar, en QM, el marco de reposo es aquel en el que se desvanece el momento total; pero también hay una dispersión distinta de cero, $\Delta p\neq0$ .
Lo mejor que pude encontrar por ahora es Cohen-Tannoudji, Quantum Mechanics, Volumen 1, Capítulo VII, Sección B. Veré si puedo encontrar algo mejor.
$\langle p\rangle=0$ como el marco de reposo de una colección de partículas tiene sentido, pero una partícula cuántica no es un conjunto. Ese uso del término me parece completamente loco (pero eso no dice nada sobre si está en uso o no). Oh bien.
@AccidentalFourierTransform ¿Su segunda ecuación representa la transformación de la función de onda bajo el impulso o la traducción de Galileo?
El impulso galileano de una función de onda es más complicado, consulte aquí .
@SRS "impulsar" no era la palabra correcta. Es solo una redefinición. Una traducción en el espacio de momento, por así decirlo.
@EmilioPisanty Curiosamente, este es quizás un caso en el que algunas interpretaciones de QM (es decir, interpretaciones de conjuntos o informativas) hacen que esta definición sea más natural que otras (interpretaciones en las que la función de onda de una sola partícula tiene una realidad física).
@AccidentalFourierTransform Es el valor esperado de $\textbf{L}^2$ cero en la función de onda del cuadro de reposo?
@SRS No. Tome el átomo de hidrógeno, por ejemplo. $\langle \boldsymbol p\rangle=\boldsymbol 0$ pero $\langle \boldsymbol L^2\rangle=\ell(\ell+1)$ .
@AccidentalFourierTransform Por lo tanto, a diferencia de una partícula clásica cuyo momento angular es cero en su marco de reposo, para una partícula cuántica puede ser distinto de cero. ¿Tengo razón?
@SRS, un sistema binario clásico (electrón + protón) también tiene un momento angular distinto de cero en su marco de reposo.

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