Entender adecuadamente el concepto de Función de Onda y su versatilidad

La función de onda es ciertamente más versátil de lo que le está dando crédito. La función de onda contiene toda la información sobre la partícula. Esta puede ser información espacial, como en el caso que está considerando, pero podría ser información "interna" sobre la partícula, que no tiene nada que ver con ninguna posición espacial o momento. Por ejemplo, los quarks vienen en tres "colores", y "de qué color" está codificado por una parte de la función de onda que, en lugar de ser una función de$x$, es una función de un índice discreto$i=\{1,2,3\}$.

Esto podría ser confuso si está pensando en la función de onda como una función literal del espacio, el final. La forma correcta de entenderlo es como dijiste en el pasaje citado: es un vector en un espacio abstracto que llamamos espacio de Hilbert. Ahora, ¿qué es lo más básico que sabes sobre los vectores? "Puedes describirlos en muchas bases diferentes". Sí. Así que cuando hablas de la función de onda como una función de$x$, quiere decir que está describiendo este vector en base a puntos espaciales: este vector tiene algún componente a lo largo de cada una de estas direcciones de base, es decir, en cada punto$x$. Cuando convierte a armónicos esféricos, solo está cambiando la base a la base que corresponde al momento angular. Y sobre esta base, las probabilidades de estar en diferentes estados de momento angular pueden leerse, de la misma manera que antes se podían leer las probabilidades de estar en diferentes regiones espaciales.

entonces tu pregunta

La función de onda, escrita de una forma u otra, aún debe contener solo la información sobre la probabilidad de encontrar la partícula en una región del espacio. ¿Cómo podemos extraer la información que necesitamos y por qué?

es equivalente a la siguiente pregunta sobre los vectores a los que está acostumbrado:

Este vector actualmente se expresa en una base determinada, por lo que solo lleva información sobre sus componentes en esa base. ¿Cómo puedo extraer información sobre sus componentes sobre una base diferente?

Excepto que sabes la respuesta a eso. El vector en una base aún contiene la misma información que tendría si se expresara en una base diferente. Para encontrar una de la otra solo tienes que hacer un poco de trigonometría. Es lo mismo con la función de onda...

Entonces, ¿cómo se ve esta "trigonometría" en la mecánica cuántica? Usaré la notación de Dirac porque parece que te sientes cómodo con eso. En esa notación, la función de onda como función del espacio es$\psi(x) = \langle{x}|{\psi}\rangle$, es decir, el vector$|\psi\rangle$proyectado sobre la base$\langle x|$. Ahora podríamos haber expresado la función de onda en la base de armónicos esféricos. Escribamos eso como$\psi_{lm} = \langle lm|{\psi}\rangle$. ¡Estas cosas serían los números complejos que elevarías al cuadrado para obtener probabilidades de medir varios valores de momento angular! La pregunta restante es cómo convertir de uno a otro. Para ello, necesitaremos expresar la$\langle lm|$en términos de$\langle x|$. llamemos a esto$Y_{lm}(x) = \langle x|lm\rangle$. (Todavía estoy escribiendo$x$aquí, pero por supuesto$x$puede expresarse en términos de$\theta$y$\phi$.) Los famosos$Y_{lm}$s son las proyecciones de los vectores de base de momento angular sobre los vectores de base de posición. Por último, solo tenemos que insertar el$\langle lm|$en nuestra expresión inicial$\langle x|\psi \rangle$. Porque el$\langle lm|$forman una base completa, si sumamos sobre ellos da el operador identidad en el siguiente sentido:

Primero, una buena revisión de los vectores. Si tenemos un vector$\mathbf v$, podemos expresar este vector como una combinación lineal de vectores base. Y no hay una manera única de hacer esto. El ejemplo típico que vemos primero es algo así como$\mathbf v=v_x\,\hat x+v_y\,\hat y+v_z\,\hat z$, donde los vectores base se alinean con los ejes de coordenadas. Pero podemos elegir algún otro conjunto de vectores base linealmente independientes que no estén alineados con los ejes si queremos. En general solo tenemos$\mathbf v=v_1\,\hat e_1+v_2\,\hat e_2+v_3\,\hat e_2$.

Aún más importante es el hecho de que si sabemos cómo los vectores base$\hat x,\hat y, \hat z$puede expresarse en términos de$\hat e_1,\hat e_2,\hat e_3$, entonces podemos pasar fácilmente de describir$\mathbf v$en la primera base para describir$\mathbf v$en las segundas bases (o viceversa).

Ahora, a tu pregunta

Pero, ¿cómo y por qué puedo inferir información sobre$L^2$y$L_z$solo con la función de onda?

La información de un sistema cuántico se codifica matemáticamente en el vector de estado $|\psi\rangle$. Lo que decimos por la "función de onda"$\psi(\mathbf r)$es realmente solo una función que describe los componentes del vector de estado$|\psi\rangle$ en la base de posición (es decir, la base formada por el conjunto continuo de estados de posición$|x\rangle$).

Además, si sabemos cómo los vectores de base de posición$|x\rangle$se relacionan con funciones de base de momento angular$|\ell,m\rangle$(a través de las funciones armónicas esféricas), entonces conocemos instantáneamente la información del momento angular de$|\psi\rangle$al relacionar$\psi(\mathbf r)$(la información de los "componentes de posición") a la información sobre los "componentes de momento angular".

Pero para usar la función de onda de esta manera, para encontrar resultados sobre el momento angular, la función de onda debe expresarse en la base de los estados propios de$L_z$, ¿bien? ¡Nosotros no hacemos esto! En cambio, lo reescribimos con las funciones propias, que no es lo mismo, o al menos no es obvio.

Así que esto es lo que estás haciendo. Puede expresar su estado como una combinación lineal de estados de momento angular:

y luego está viendo los componentes de base de posición de este

y estos$\langle\mathbf r|{\ell,m}\rangle$son sus armónicos esféricos. Por lo tanto, si puede expresar$\psi(\mathbf r)$como una combinación lineal de armónicos esféricos, ya sabes$\psi_{\ell,m}$. Si usted sabe$\psi_{\ell,m}$entonces sabes que$|\psi\rangle$es en términos de estados propios de momento angular. Y por supuesto,$|\psi_{\ell,m}|^2$te dice la probabilidad de medir el estado$|\ell,m\rangle$dado el estado inicial$|\psi\rangle$.

¡Su declaración sobre qué es una función de onda no es del todo incorrecta y su segundo ejemplo no contradice de ninguna manera su primera declaración! La utilidad de la función de onda se explica de manera precisa y sucinta. Su segundo ejemplo simplemente expresa una función de onda en un conjunto diferente de coordenadas, esférico. Pero todavía está justificado decir que la integral de esta función se hace correctamente (y su declaración tiene un error) mide la probabilidad de encontrar la partícula dentro del intervalo de integración. En 3D este intervalo sería una celda 3D. Su ejemplo de coordenadas esféricas no viola sus expectativas.

Para corregir su error, NO es la función de onda la que está integrada sino su magnitud al cuadrado,$|\psi|^2$, que mide la densidad de probabilidad.

En cuanto a obtener medidas de otras cantidades, no es la utilidad de la función de onda lo que está preguntando, sino la utilidad de la abstracción matemática de los operadores lineales que actúan sobre un espacio funcional. Esto está presente incluso en la teoría clásica de campos, acústica, electromagnética, etc.

La capacidad de "inferir" información sobre otras cantidades está integrada en los postulados de la teoría cuántica. Interpretación$|\psi|^2$como densidad de probabilidad entonces el valor esperado de cualquier variable,$v$, denotado$<v>$, relacionado con la partícula sería la integral de$v |\psi|^2$. Esta es solo la teoría clásica de la probabilidad aplicada a las cantidades medibles relacionadas con el estado de una partícula. Una diferencia importante, expresada en los postulados de QM, es que un observable se representa como un operador que actúa sobre las funciones en el espacio de Hilbert. Entonces, la versión QM del valor esperado es$<\psi|v\psi>$dónde$v$ahora es un operador. En base a esto, se puede obtener una estimación para cualquier cantidad bien definida utilizando la función de onda y un operador para la cantidad.

En cuanto al último ejemplo, que analiza una función de onda que se escribe como una suma de otras funciones, nuevamente se trata más de un principio matemático que se ha asignado a un postulado de la física. El espacio de Hilbert es una abstracción de un espacio vectorial lineal y, como todos los espacios lineales, cualquier función se puede expresar como una suma sobre una base ortonormal, como señalan otras respuestas. Esto no es necesario para que la función de onda esté bien definida o sea útil. Por el contrario, esta es una forma de usar las matemáticas para sacar más provecho. Cada cantidad observable se expresa como un operador (específicamente un operador hermitiano) y los valores propios de ese operador representan los valores observados permitidos. Las soluciones a la ecuación de valor propio para todos y cada uno de estos operadores para una base para el espacio de funciones. Cualquier función en el espacio se puede escribir como una combinación lineal de cualquiera de las bases. Entonces, lo que ha proporcionado como ejemplo es una de esas combinaciones lineales de funciones propias específicas de los operadores de momento angular. Pero esto podría haber sido fácilmente el operador de momento lineal, o el operador de posición, o cualquier otro operador de "medida física". Dada cualquier función de onda arbitraria, su proyección sobre la base de una función propia de medición específica le dará la probabilidad de medir el valor propio correspondiente a esa función propia. operador. Dada cualquier función de onda arbitraria, su proyección sobre la base de una función propia de medición específica le dará la probabilidad de medir el valor propio correspondiente a esa función propia. operador. Dada cualquier función de onda arbitraria, su proyección sobre la base de una función propia de medición específica le dará la probabilidad de medir el valor propio correspondiente a esa función propia.

Podría darte la función de onda.$sin(kr)/kr$que está bien definido en todas partes y normalizable. Si desea determinar la probabilidad de medir un momento angular con$l=6$, expresas la función como una serie infinita en$L^2$autofunciones y sacar el coeficiente de la$l=6$término. Es un poco más fácil que eso ya que ese coeficiente es solo$<\phi_6|\psi>$, dónde$\phi_6$es el$l=6$función propia. Entonces la probabilidad de observar este valor es simplemente$|<\phi_6|\psi>|^2$. Lo mismo para el momento lineal, solo encuentre las funciones propias para ese operador y calcule la proyección sobre él,$|<\phi_k|\psi>|^2$.

Si uno tuviera que construir un gran conjunto estadístico de experimentos para medir esta variable con funciones de onda iniciales idénticas, entonces el valor esperado de ese operador de medición,$<\psi|M\psi>$, sería igual al valor medio observado. Una vez que toma la medida, "colapsa la función de onda" y la partícula no está en un estado propio de$M$, todas las medidas futuras producirán exactamente la misma cantidad. La única forma de verificar la naturaleza estadística de esto es restablecer la función de onda y realizar la medición nuevamente. Lo más probable es que obtenga un resultado diferente cada vez, puede ocurrir alguna repetición, como lanzar una moneda y obtener {H, T, H, H, T, H, T, T, ...}.

Para comprender el "valor" de la función de onda, realmente necesita conocer el conjunto completo de postulados para QM y la interpretación actualmente aceptada, que siempre está sujeta a cambios.