polinomio con coeficientes enteros

Sí, son números enteros.

Tenga en cuenta que el$z_j^k$son números enteros algebraicos, ya que$z_j$son y por lo tanto también lo son los coeficientes de$\displaystyle \prod_j(z-z_j^k)$basta probar que los coeficientes son racionales.

Para hacer esto, deje$K=\mathbb{Q}(\{z_j\})$. Tenga en cuenta que$K$es el campo divisorio de$\displaystyle \prod_j(z-z_j)$un polinomio con$\mathbb{Q}$-coeficientes, y por lo tanto$K/\mathbb{Q}$es Galois.

Dejar$\sigma\in\text{Gal}(K/\mathbb{Q})$y considerar cualquiera de los coeficientes de$\displaystyle \prod_j (z-z_j^k)$que son polinomios simétricos elementales$e_i(z_1^k,\ldots,z_n^k)$. Entonces, desde$\sigma$permuta el conjunto$\{z_1,\ldots,z_n\}$tenemos eso

donde usamos el hecho de que$e_i$es el polinomio simétrico elemental .

Así, desde$K/\mathbb{Q}$es Galois, tenemos eso$e_i(z_1^k,\ldots,z_n^k)\in K^{\text{Gal}(K/\mathbb{Q})}=\mathbb{Q}$. Así, del comentario anterior se deduce que$e_i(z_1^k,\ldots,z_n^k)\in\mathbb{Z}$como se desee.

Sí. Obviamente$\prod (z - z_j^k)$es invariante bajo permutación de$z_j$-s, así que si lo multiplicas, en cada potencia de$z$obtendrás un polinomio en variables$z_1, \ldots, z_n$eso es invariante bajo permutación de variables. Un teorema fundamental de polinomios simétricos dice que cada uno de estos polinomios es en realidad un polinomio en polinomios simétricos elementales con coeficientes enteros, pero los valores de los polinomios simétricos elementales tomados en$(z_1, \ldots, z_n)$son solo los coeficientes de$\prod(z - z_j)$que son enteros, entonces los coeficientes de$\prod(z - z_j^k)$son valores de polinomios con coeficientes enteros en tuplas enteras, por lo que son enteros.