¿Por qué una extensión de raíz tiene un cierre de Galois?

Los siguientes son una definición y un lema (Lemma 14.38 en " Abstract Algebra " de Dummit ).

Definición. Un elemento$\alpha$puede expresarse mediante radicales o resolverse en términos de radicales si$\alpha$es un elemento de un campo$K$que se puede obtener por una sucesión de extensiones radicales simples

$$\begin{equation} F=K_0\subsetneq K_1\subsetneq\cdots\subsetneq K_i\subsetneq K_{i+1}\subsetneq\cdots\subsetneq K_s=K \end{equation}$$ dónde$K_{i+1}=K_i(\sqrt[n_i]{a_i})$para algunos$a_i\in K_i$y$n_i\in\mathbb N^*$,$i=0,1,\ldots,s-1$. Aquí$\sqrt[n_i]{a_i}$denota alguna raíz del polinomio$x^{n_i}-a_i$. tal campo$K$será llamada una extensión raíz de$F$.

Lema. Dejar$F$ser un campo de característica$0$. Si$\alpha$está contenido en una extensión raíz$K$como en la definición anterior, entonces$\alpha$está contenido en una extensión raíz que es Galois sobre$F$y donde cada extensión$K_{i+1}/K_i$es cíclico.

La prueba comienza con esto:

Prueba: Deja$L$ser el cierre de Galois de$K$encima$F$. ...

Pero como se que hay un cierre de Galois$L$? Creo que la prueba de que hay un cierre de Galois$L$debería ir así.

1. Todo$K_{i+1}/K_i$es una extensión finita.
2. Todo$K_{i+1}/K_i$es una extensión separable.
3. De este modo$K/F$es una extensión separable finita, ya que la finitud y la separabilidad de las extensiones son transitivas.
4. Toda extensión separable finita tiene una clausura de Galois, por lo que$K/F$Tiene un cierre Galois.

No pude probar 2. Si$K_{i+1}$es un campo divisorio del polinomio mínimo$m_{\sqrt[n_i]{a_i},K_i}(x)$, entonces$K_{i+1}/K_i$es Galois ya que es un campo divisorio de un polinomio separable, por lo que es separable. Pero no sé si realmente es un campo de división.