Dos campos algebraicamente cerrados son isomorfos si y solo si tienen el mismo grado de trascendencia sobre sus campos primos.

Dejar$M, N$ser campos isomorfos algebraicamente cerrados sobre el campo primo$k$. Por simplicidad suponemos que$k \subseteq M, N$. Decir$\sigma : M \mapsto N$es nuestro isomorfismo. Darse cuenta de$\sigma$conserva el campo principal$k$. Además, la imagen de una base trascendente de$M$encima$k$es una base de trascendencia de$N$encima$k$(ver prueba abajo). Por eso,$M$isomorfo a$N$implica que$M$y$N$tienen el mismo grado de trascendencia.

prueba
de dejar$t_1, \dots, t_n$ser una base de trascendencia de$M$encima$k$.
Primero comprobamos que$\sigma(t_1), \dots, \sigma(t_n)$es algebraicamente independiente sobre$k$:

Si no, hay un polinomio distinto de cero.$P \in k[X_1, \dots, X_n]$tal que$P(\sigma(t_1), \dots, \sigma(t_n) ) = 0$. Pero desde$P$tiene coeficientes en$k$, esto implica que$P(t_1, \dots, t_n) = 0$, una contradicción!

Entonces, mostramos que cualquier elemento en$N$es algebraico sobre$\sigma(t_1), \dots, \sigma(t_n)$:
Deja$b \in N$. El elemento$a := \sigma^{-1}(b)$es algebraico sobre$t_1, \dots, t_n$es decir, hay un polinomio$P(X) \neq 0$con coeficientes en$k(t_1, \dots, t_n)$tal que$P(a) = 0$.
Escribir$P^\sigma$para el polinomio con coeficientes en$k(\sigma(t_1), \dots, \sigma(t_n))$obtenido aplicando$\sigma$a todos los coeficientes de$P$. Tenemos$P^\sigma \neq 0$y$P^\sigma(b) = P^\sigma(\sigma(a)) = \sigma(P(a)) = 0$:$b$es algebraico sobre$\sigma(t_1), \dots, \sigma(t_n)$, de donde la pretensión.$\square$

Para la otra implicación, considere dos campos algebraicamente cerrados sobre el campo primo$k$teniendo el mismo grado de trascendencia$n$. Dejar$t_1, \dots, t_n$(resp.$u_1,\dots, u_n$) ser una base de trascendencia de$M$(resp.$N$). Considere el isomorfismo$\tau : k(t_1, \dots, t_n) \mapsto k(u_1, \dots, u_n)$enviando$t_i$a$u_i$para todos$i$. Este isomorfismo se extiende a un isomorfismo$\sigma : M \mapsto N$por adjunción sucesiva de elementos algebraicos.