Polinomio sin ceros en ultraproducto de campos primos finitos

La respuesta a esto es no, en general; de hecho es posible tener$\mathbb{Q}^{\text{alg}}$como subcampo de un campo pseudofinito de la forma que indiques. Esto se sigue del siguiente lema:

Si$f(x)\in\mathbb{Z}[x]$, entonces hay infinitos números primos$p$tal que$f$se divide completamente mod$p$.

Para una prueba realmente ingeniosa de este hecho, vea la Edición 2 de la respuesta de Qiaochu aquí . (Él dice que aprendió el argumento de una publicación de MathOverflow de Bjorn Poonen).

Bien, para ver por qué esto nos permite construir el ultraproducto deseado: para un polinomio$f\in\mathbb{Z}[x]$, dejar$P_f$Sea el conjunto de primos módulo que$f$se divide por completo. Para cualquier$f_1,\dots,f_n$, aplicando el lema anterior a$f=f_1\cdot\ldots\cdot f_n$, lo sabemos$P_f=P_{f_1}\cap \dots \cap P_{f_n}$es infinito. En particular, si$P$es el conjunto de todos los números primos, tomando el filtro en$P$generado por$(P_f)_{f\in\mathbb{Z}[x]}$produce un filtro$\mathcal{F}$que no contiene un conjunto finito.

Así podemos completar$\mathcal{F}$a un ultrafiltro no principal, y luego tomando el ultraproducto del$(\mathbb{F}_p)_{p\in P}$a lo largo de este ultrafiltro producirá una característica$0$campo en el que todo polinomio con coeficientes enteros se divide completamente, es decir, un campo que contiene$\mathbb{Q}^{\text{alg}}$, como se desee.