Demostrar que los coeficientes del polinomio son polinomios simétricos elementales

Quiero mostrar que para el k -ésimo polinomio simétrico elemental s k := ∑ i 1 < ⋯ < i k X i 1 ⋯ X i k ∈ R [ X 1 , … , X norte ] un polinomio mónico que factoriza ∏ i = 1 norte ( X − α i ) tiene los polinomios simétricos elementales como coeficientes, por ejemplo

∏ i = 1 norte ( X − α i ) = X norte − s 1 ( α 1 , … , α norte ) X norte − 1 + ⋯ + ( − 1 ) norte s norte ( α 1 , … , α norte ) .
¿Es esto posible por inducción?

Sí, solo escríbelo.

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"¿Es esto posible por inducción?" ¡Por supuesto que es!

Escribir

∏ i = 1 norte − 1 ( X − α i ) = X norte − 1 − s 1 ( α 1 , … , α norte − 1 ) X norte − 2 + ⋯ + ( − 1 ) norte − 1 s norte − 1 ( α 1 , … , α norte − 1 )
y multiplica esto por X − α norte . Usted obtiene
X norte − ( s 1 ( α 1 , … , α norte − 1 ) + α norte ) X norte − 1 + ⋯ + ( − 1 ) norte s norte ( α 1 , … , α norte − 1 ) α norte .

Tal vez esto no sea muy convincente (porque solo dos coeficientes son explícitos), pero si miras el coeficiente de X norte − k puedes ver que esto es

s k ( α 1 , … , α norte − 1 ) + s k − 1 ( α 1 , … , α norte − 1 ) α norte = s k ( α 1 , … , α norte )
(veces ± , por supuesto).

El coeficiente de X k es la suma de todos los productos de norte − k términos distintos de la forma − α i . Este es el polinomio simétrico elemental de grado norte − k en α 1 , … , α norte veces ( − 1 ) norte − k como podemos identificar estos términos distintos por la secuencia de sus índices en orden creciente.

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