Campo no algebraicamente cerrado en el que todo polinomio de grado El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-20T07:49:53.794Z charlie El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-20T07:49:53.794Z Mi problema es construir, para cada número primopag pag p, un campo de característicaspag pag pen el que todo polinomio de grado≤ norte ≤ norte \leq n(norte norte nun número natural fijo) tiene una raíz, pero tal que el campo no es algebraicamente cerrado. Si no me equivoco (corríjame si lo estoy), dicho campo no puede ser finito, contando argumentos. Pero por otro lado, la unión de todos los campos finitos (o de cualquier cadena ascendente de campos finitos) de característicaspag pag p, que es lo que obtengo si empiezo conFpag F pag F_py sumamos una raíz a cada polinomio de grado≤ norte ≤ norte \leq nen cada paso, es el cierre algebraico deFpag F pag F_p, por lo tanto algebraicamente cerrado. No veo cómo puedo controlar este proceso para que al final obtenga un campo que no esté algebraicamente cerrado. Cualquier pista será bienvenida. Gracias de antemano. álgebra abstracta teoría de campo El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-20T07:49:53.794Z Es un poco confuso: esnorte norte n¿fijado? El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-20T07:49:53.794Z Yuan Qiaochu El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-20T07:49:53.794Z Sí, tal campo no puede ser finito: sik k kes un campo cuya característica no es2 2 2, desdeX2− λ X 2 − λ X^2-\lambdatiene una raíz para todosλ ∈ k λ ∈ k \lambda \in k, entonces cada elemento dek k kes un cuadrado (en realidad esto es equivalente a tener una raíz para todo polinomio de grado2 2 2enk k k). Pero dado que el mapa cuadradoX ↦X2 X ↦ X 2 x \mapsto x^2tiene kernel no trivial ({ - 1 , 1 } { − 1 , 1 } \{-1, 1\}), entoncesk k kes infinito. El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-20T07:49:53.794Z Joel Cohen El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-20T07:49:53.794Z Sí, n es un número natural fijo. He editado la declaración para que quede más claro. El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-20T07:49:53.794Z charlie El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-20T07:49:53.794Z Si comienza con un campo de tamaño q y se une a una raíz de cualquier (todas) cuadráticas irreducibles, obtiene un campo de tamaño q^2. Comienza con q=2 y obtienes 2, 4, 16, 256, etc. Ninguno de estos campos contiene una raíz de un cúbico irreducible sobre el campo original (con q=2, eso requeriría un campo cuyo tamaño fuera una potencia de 8). En otras palabras, no obtienes el cierre algebraico, ya que para cualquier primo r mayor que n, no obtienes las raíces de ningún polinomio irreducible de grado r. El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-20T07:49:53.794Z jack schmidt El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-20T07:49:53.794Z @Jack Schmidt: Muchas gracias. Si publica su comentario como respuesta, lo aceptaré con gusto. El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-20T07:49:53.794Z charlie El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-20T07:49:53.794Z Ver también mathoverflow.net/questions/16778/… El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-20T07:49:53.794Z watson El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-20T07:49:53.794Z jack schmidt El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-20T07:49:53.794Z Si comienza con un campo de tamaño q y se une a una raíz de cualquier (todas) cuadráticas irreducibles, obtiene un campo de tamañoq2 q 2 q^2. Empezar conq= 2 q = 2 q=2, y obtienes 2, 4, 16, 256, etc. Ninguno de estos campos contiene una raíz de un cúbico irreducible sobre el campo original (conq= 2 q = 2 q=2, eso requeriría un campo cuyo tamaño fuera una potencia de 8). En otras palabras, no obtienes el cierre algebraico, ya que para cualquier primo r mayor que n , no obtienes las raíces de ningún polinomio irreducible de grado r . Como menciona Lubin, esto es equivalente a tomar un pro-2-subgrupo de Sylow del grupo de Galois del cierre algebraico, y supongo que, en general, quieres un pro-n-subgrupo de Hall del grupo de Galois, pero prefiero pensar simplemente en elevar repetidamente un número al cuadrado. El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-20T07:49:53.794Z Lubín El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-20T07:49:53.794Z Te daré una pista, no una respuesta. La mejor ruta para comprender aquí es usar la teoría de Galois. El grupo total de Galois de un campo finitok k k, es decir, el grupo de la clausura algebraica sobrek k k, esZ^ Z ^ \hat{\mathbb Z}, la terminación profinita de los números enteros. Es generado topológicamente por el automorfismo único, el Frobenius dek k k. ComprenderZ^ Z ^ \hat{\mathbb Z}, usa el teorema chino del resto y verás que es el producto directo de todos los gruposZpag Z pag {\mathbb Z}_p, conpag pag precorriendo todos los números primos. Lo tomas desde allí. El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-20T07:49:53.794Z naranja El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-20T07:49:53.794Z Dejark k kser un campo,k¯ k ¯ \bar kuna clausura algebraica dek k k. Arreglarnorte > 1 norte > 1 n>1natural. Considere la familiaknorte k norte \mathcal{K}_nde camposk k K,k ⊂ k⊂k¯ k ⊂ k ⊂ k ¯ k\subset K\subset \bar kcon la propiedad: existe una familia de campos intermedios k =k0⊂k1⊂ ...ks= k k = k 0 ⊂ k 1 ⊂ … k s = k k = K_0 \subset K_1 \subset \ldots K_s= Kde modo que[kyo + 1:ki] < norte [ k i + 1 : k i ] < norte [K_{i+1}\colon K_i]< npara todos1 ≤ yo ≤ s 1 ≤ i ≤ s 1\le i \le s. Es fácil comprobar lo siguiente: k∈knorte k ∈ k norte K \in \mathcal{K}_n,k⊂ L ⊂k¯ k ⊂ L ⊂ k ¯ K\subset L \subset \bar k,[ L : K] < norte [ L : k ] < norte [L\colon K]< nimplicaL ∈knorte L ∈ k norte L \in \mathcal{K}_n k k K,k′∈knorte k ′ ∈ k norte K'\in \mathcal{K}_nimplicakk′∈knorte k k ′ ∈ k norte K K'\in \mathcal{K}_n. k∈knorte k ∈ k norte K \in \mathcal{K}_n,k ⊂k′⊂ k k ⊂ k ′ ⊂ k k \subset K'\subset K implicak′∈knorte k ′ ∈ k norte K'\in \mathcal{K}_n. Es fácil ver ahora que la unión de los subcampos enknorte k norte \mathcal{K}_nes un subcampok( n ) k ( norte ) k^{(n)}y todo polinomio de grado< norte < norte <ncon coeficientes enk( n ) k ( norte ) k^{(n)}se divide completamente enk( n ) k ( norte ) k^{(n)}. Tenga en cuenta que el grado sobrek k kde cada elemento enk( n ) k ( norte ) k^{(n)}tiene todos sus factores primos< norte < norte <n. Por lo tanto, sik k kes tal que existen elementos enk¯ k ¯ \bar kcuyo grado sobrek k kes un factor primo> norte > norte >n(muchos ejemplos aquí) entoncesk( n )≠k¯ k ( norte ) ≠ k ¯ k^{(n)}\ne \bar k, eso esk( n ) k ( norte ) k^{(n)}no es algebraicamente cerrado. Nota: paranorte = 3 norte = 3 n=3obtenemosk( n ) k ( norte ) k^{(n)}son los elementos construibles dek¯/ k k ¯ / k \bar k/k. El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-20T07:49:53.794Z

Mi problema es construir, para cada número primo pag , un campo de características pag en el que todo polinomio de grado ≤ norte ( norte un número natural fijo) tiene una raíz, pero tal que el campo no es algebraicamente cerrado.

Si no me equivoco (corríjame si lo estoy), dicho campo no puede ser finito, contando argumentos. Pero por otro lado, la unión de todos los campos finitos (o de cualquier cadena ascendente de campos finitos) de características pag , que es lo que obtengo si empiezo con F pag y sumamos una raíz a cada polinomio de grado ≤ norte en cada paso, es el cierre algebraico de F pag , por lo tanto algebraicamente cerrado. No veo cómo puedo controlar este proceso para que al final obtenga un campo que no esté algebraicamente cerrado.

Cualquier pista será bienvenida. Gracias de antemano.

Es un poco confuso: es norte ¿fijado?
Sí, tal campo no puede ser finito: si k es un campo cuya característica no es 2 , desde X 2 − λ tiene una raíz para todos λ ∈ k , entonces cada elemento de k es un cuadrado (en realidad esto es equivalente a tener una raíz para todo polinomio de grado 2 en k ). Pero dado que el mapa cuadrado X ↦ X 2 tiene kernel no trivial ( { − 1 , 1 } ), entonces k es infinito.
Sí, n es un número natural fijo. He editado la declaración para que quede más claro.
Si comienza con un campo de tamaño q y se une a una raíz de cualquier (todas) cuadráticas irreducibles, obtiene un campo de tamaño q^2. Comienza con q=2 y obtienes 2, 4, 16, 256, etc. Ninguno de estos campos contiene una raíz de un cúbico irreducible sobre el campo original (con q=2, eso requeriría un campo cuyo tamaño fuera una potencia de 8). En otras palabras, no obtienes el cierre algebraico, ya que para cualquier primo r mayor que n, no obtienes las raíces de ningún polinomio irreducible de grado r.
@Jack Schmidt: Muchas gracias. Si publica su comentario como respuesta, lo aceptaré con gusto.

Respuestas (3)

Si comienza con un campo de tamaño q y se une a una raíz de cualquier (todas) cuadráticas irreducibles, obtiene un campo de tamaño q 2 .

Empezar con q = 2 , y obtienes 2, 4, 16, 256, etc. Ninguno de estos campos contiene una raíz de un cúbico irreducible sobre el campo original (con q = 2 , eso requeriría un campo cuyo tamaño fuera una potencia de 8).

En otras palabras, no obtienes el cierre algebraico, ya que para cualquier primo r mayor que n , no obtienes las raíces de ningún polinomio irreducible de grado r .

Como menciona Lubin, esto es equivalente a tomar un pro-2-subgrupo de Sylow del grupo de Galois del cierre algebraico, y supongo que, en general, quieres un pro-n-subgrupo de Hall del grupo de Galois, pero prefiero pensar simplemente en elevar repetidamente un número al cuadrado.

Te daré una pista, no una respuesta. La mejor ruta para comprender aquí es usar la teoría de Galois. El grupo total de Galois de un campo finito k , es decir, el grupo de la clausura algebraica sobre k , es Z ^ , la terminación profinita de los números enteros. Es generado topológicamente por el automorfismo único, el Frobenius de k . Comprender Z ^ , usa el teorema chino del resto y verás que es el producto directo de todos los grupos Z pag , con pag recorriendo todos los números primos. Lo tomas desde allí.

Dejar k ser un campo, k ¯ una clausura algebraica de k . Arreglar norte > 1 natural. Considere la familia k norte de campos k , k ⊂ k ⊂ k ¯ con la propiedad: existe una familia de campos intermedios

k = k 0 ⊂ k 1 ⊂ … k s = k
de modo que [ k i + 1 : k i ] < norte para todos 1 ≤ i ≤ s . Es fácil comprobar lo siguiente:

  1. k ∈ k norte , k ⊂ L ⊂ k ¯ , [ L : k ] < norte implica L ∈ k norte

  2. k , k ′ ∈ k norte implica k k ′ ∈ k norte .

  3. k ∈ k norte , k ⊂ k ′ ⊂ k implica k ′ ∈ k norte .

Es fácil ver ahora que la unión de los subcampos en k norte es un subcampo k ( norte ) y todo polinomio de grado < norte con coeficientes en k ( norte ) se divide completamente en k ( norte ) .

Tenga en cuenta que el grado sobre k de cada elemento en k ( norte ) tiene todos sus factores primos < norte . Por lo tanto, si k es tal que existen elementos en k ¯ cuyo grado sobre k es un factor primo > norte (muchos ejemplos aquí) entonces k ( norte ) ≠ k ¯ , eso es k ( norte ) no es algebraicamente cerrado.

Nota: para norte = 3 obtenemos k ( norte ) son los elementos construibles de k ¯ / k .

Campo no algebraicamente cerrado en el que todo polinomio de grado El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-20T07:49:53.794Z charlie El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-20T07:49:53.794Z Mi problema es construir, para cada número primopag pag p, un campo de característicaspag pag pen el que todo polinomio de grado≤ norte ≤ norte \leq n(norte norte nun número natural fijo) tiene una raíz, pero tal que el campo no es algebraicamente cerrado. Si no me equivoco (corríjame si lo estoy), dicho campo no puede ser finito, contando argumentos. Pero por otro lado, la unión de todos los campos finitos (o de cualquier cadena ascendente de campos finitos) de característicaspag pag p, que es lo que obtengo si empiezo conFpag F pag F_py sumamos una raíz a cada polinomio de grado≤ norte ≤ norte \leq nen cada paso, es el cierre algebraico deFpag F pag F_p, por lo tanto algebraicamente cerrado. No veo cómo puedo controlar este proceso para que al final obtenga un campo que no esté algebraicamente cerrado. Cualquier pista será bienvenida. Gracias de antemano. álgebra abstracta teoría de campo El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-20T07:49:53.794Z Es un poco confuso: esnorte norte n¿fijado? El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-20T07:49:53.794Z Yuan Qiaochu El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-20T07:49:53.794Z Sí, tal campo no puede ser finito: sik k kes un campo cuya característica no es2 2 2, desdeX2− λ X 2 − λ X^2-\lambdatiene una raíz para todosλ ∈ k λ ∈ k \lambda \in k, entonces cada elemento dek k kes un cuadrado (en realidad esto es equivalente a tener una raíz para todo polinomio de grado2 2 2enk k k). Pero dado que el mapa cuadradoX ↦X2 X ↦ X 2 x \mapsto x^2tiene kernel no trivial ({ - 1 , 1 } { − 1 , 1 } \{-1, 1\}), entoncesk k kes infinito. El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-20T07:49:53.794Z Joel Cohen El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-20T07:49:53.794Z Sí, n es un número natural fijo. He editado la declaración para que quede más claro. El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-20T07:49:53.794Z charlie El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-20T07:49:53.794Z Si comienza con un campo de tamaño q y se une a una raíz de cualquier (todas) cuadráticas irreducibles, obtiene un campo de tamaño q^2. Comienza con q=2 y obtienes 2, 4, 16, 256, etc. Ninguno de estos campos contiene una raíz de un cúbico irreducible sobre el campo original (con q=2, eso requeriría un campo cuyo tamaño fuera una potencia de 8). En otras palabras, no obtienes el cierre algebraico, ya que para cualquier primo r mayor que n, no obtienes las raíces de ningún polinomio irreducible de grado r. El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-20T07:49:53.794Z jack schmidt El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-20T07:49:53.794Z @Jack Schmidt: Muchas gracias. Si publica su comentario como respuesta, lo aceptaré con gusto. El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-20T07:49:53.794Z charlie El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-20T07:49:53.794Z Ver también mathoverflow.net/questions/16778/… El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-20T07:49:53.794Z watson El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-20T07:49:53.794Z jack schmidt El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-20T07:49:53.794Z Si comienza con un campo de tamaño q y se une a una raíz de cualquier (todas) cuadráticas irreducibles, obtiene un campo de tamañoq2 q 2 q^2. Empezar conq= 2 q = 2 q=2, y obtienes 2, 4, 16, 256, etc. Ninguno de estos campos contiene una raíz de un cúbico irreducible sobre el campo original (conq= 2 q = 2 q=2, eso requeriría un campo cuyo tamaño fuera una potencia de 8). En otras palabras, no obtienes el cierre algebraico, ya que para cualquier primo r mayor que n , no obtienes las raíces de ningún polinomio irreducible de grado r . Como menciona Lubin, esto es equivalente a tomar un pro-2-subgrupo de Sylow del grupo de Galois del cierre algebraico, y supongo que, en general, quieres un pro-n-subgrupo de Hall del grupo de Galois, pero prefiero pensar simplemente en elevar repetidamente un número al cuadrado. El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-20T07:49:53.794Z Lubín El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-20T07:49:53.794Z Te daré una pista, no una respuesta. La mejor ruta para comprender aquí es usar la teoría de Galois. El grupo total de Galois de un campo finitok k k, es decir, el grupo de la clausura algebraica sobrek k k, esZ^ Z ^ \hat{\mathbb Z}, la terminación profinita de los números enteros. Es generado topológicamente por el automorfismo único, el Frobenius dek k k. ComprenderZ^ Z ^ \hat{\mathbb Z}, usa el teorema chino del resto y verás que es el producto directo de todos los gruposZpag Z pag {\mathbb Z}_p, conpag pag precorriendo todos los números primos. Lo tomas desde allí. 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Es fácil comprobar lo siguiente: k∈knorte k ∈ k norte K \in \mathcal{K}_n,k⊂ L ⊂k¯ k ⊂ L ⊂ k ¯ K\subset L \subset \bar k,[ L : K] < norte [ L : k ] < norte [L\colon K]< nimplicaL ∈knorte L ∈ k norte L \in \mathcal{K}_n k k K,k′∈knorte k ′ ∈ k norte K'\in \mathcal{K}_nimplicakk′∈knorte k k ′ ∈ k norte K K'\in \mathcal{K}_n. k∈knorte k ∈ k norte K \in \mathcal{K}_n,k ⊂k′⊂ k k ⊂ k ′ ⊂ k k \subset K'\subset K implicak′∈knorte k ′ ∈ k norte K'\in \mathcal{K}_n. Es fácil ver ahora que la unión de los subcampos enknorte k norte \mathcal{K}_nes un subcampok( n ) k ( norte ) k^{(n)}y todo polinomio de grado< norte < norte <ncon coeficientes enk( n ) k ( norte ) k^{(n)}se divide completamente enk( n ) k ( norte ) k^{(n)}. Tenga en cuenta que el grado sobrek k kde cada elemento enk( n ) k ( norte ) k^{(n)}tiene todos sus factores primos< norte < norte <n. Por lo tanto, sik k kes tal que existen elementos enk¯ k ¯ \bar kcuyo grado sobrek k kes un factor primo> norte > norte >n(muchos ejemplos aquí) entoncesk( n )≠k¯ k ( norte ) ≠ k ¯ k^{(n)}\ne \bar k, eso esk( n ) k ( norte ) k^{(n)}no es algebraicamente cerrado. Nota: paranorte = 3 norte = 3 n=3obtenemosk( n ) k ( norte ) k^{(n)}son los elementos construibles dek¯/ k k ¯ / k \bar k/k. El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-20T07:49:53.794Z
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