¿Podría un "campo" tener originalmente una multiplicación no conmutativa?

No exactamente. Había cierta vaguedad en las primeras formulaciones de Dedekind, pero la tendencia era usar " Körper " o "campo" cuando la multiplicación es conmutativa desde el principio. Como curiosidad, en ruso el álgebra de división general se llama тело , literalmente "cuerpo", que aparentemente es la traducción del alemán Körper , en contraposición al conmutativo поле , la traducción del inglés "campo".

El uso original del alemán Zahlenkörper (literalmente, cuerpo numérico), o Körper para abreviar, ahora traducido como campo, se atribuye al Suplemento XI de Dedekind a Vorlesungenueber Zahlentheorie de Dirichlet , §159 (1871) y también a su Stetigkeit und irrationale Zahlen (1872) ( este último ha sido traducido al inglés en Essays on the Theory of Numbers (1901) ). Aquí está el pasaje relevante del Suplemento XI:

" Hasta ahora, solo hemos considerado los números enteros$0, ± 1, ± 2, ± 3, ± 4...$, es decir, todos aquellos números que surgen del número$1$por sumas y restas repetidas; estos números se reproducen por suma, resta y multiplicación, o en otras palabras, las sumas, diferencias y productos de dos números enteros vuelven a ser números enteros. En cambio, la cuarta operación básica, la división, conduce a la noción más amplia de los números racionales bajo cuya denominación se entenderán los cocientes de dos enteros cualesquiera [con denominador distinto de cero]; estos números racionales son evidentemente reproducidos por las cuatro operaciones básicas.

En el futuro, queremos llamar a todo sistema de números reales o complejos que tenga esta propiedad fundamental de reproducción Zahlenkörper o Körper para abreviar ; el sistema$R$de todos los números racionales es uno de esos Körper, y es el ejemplo más simple de uno. Este Körper$R$de números racionales ahora consta de números enteros y fracciones, es decir, no enteros; a los primeros los queremos llamar enteros racionales para distinguirlos de los nuevos enteros que se introducirán. " [mi traducción y énfasis]

Por un lado, Dedekind no requiere explícitamente que la multiplicación sea conmutativa en esta "definición", y esto estaría en línea con la definición de grupo de Galois, que no estaba obligada a ser abeliana. Por otro lado, parece estar hablando de subcampos de "números reales o complejos", que son conmutativos, y todos sus ejemplos son campos de números algebraicos (los racionales gaussianos se consideran justo después de la definición). En particular, no considera álgebras de división no conmutativas ni campos finitos, aunque nuevamente, su$R$no se requiere formalmente que sea infinito.

Los sistemas de números hipercomplejos eran populares en esa época, y algunos de ellos (cuaterniones) tenían multiplicaciones no conmutativas e inversas para los distintos ceros. Es difícil decir si Dedekind se inclinó a llamarlos también Körper . Según los primeros usos conocidos de algunas de las palabras de las matemáticas de Jeff Miller , Wildstrom argumentó que sí. Miller también sugiere que el término no se popularizó hasta principios de la década de 1890, en particular, Moore lo tradujo al inglés como "campo" en 1893 (pero la traducción de Dedekind de 1901 antes mencionada usa "cuerpo" en su lugar). Aquí está la suposición de Huntington de un artículo presentado a AMS en 1904:

Estrechamente relacionada con la teoría de grupos está la teoría de campos, sugerida por GALOIS y debida, en forma concreta, a DEDEKIND en 1871. La palabra campo es el equivalente en inglés del término Körper de DEDEKIND; el término Rationalitätsbereich de KRONECKER, que se usa a menudo como sinónimo, tenía originalmente un significado algo diferente. Las primeras exposiciones de la teoría desde el punto de vista general o abstracto fueron dadas independientemente por WEBER y por Moore, en 1893 [...] Los primeros conjuntos de postulados independientes para campos abstractos fueron dados en 1903 por el profesor Dickson y por mí mismo; todos estos conjuntos eran las extensiones naturales de los conjuntos de postulados independientes que ya se habían dado para grupos .

Nuevamente, si queremos que los "campos" sean una generalización de grupos, en lugar de grupos abelianos, tendría que cubrir lo que ahora se llama álgebras de división. Sin embargo, en el artículo de Moore de 1893 antes mencionado , y en los dos artículos de 1903 de Dickson, Definiciones de un campo por postulados independientes y Huntington, Definiciones de un campo por conjuntos de postulados independientes, se asume explícitamente la conmutatividad de la multiplicación.