¿Cuál es el origen de "un álgebra" como en el espacio vectorial con multiplicación?

En realidad, sucedió en el orden inverso, las álgebras llegaron primero y los espacios vectoriales solo después. Para la historia del espacio vectorial, consulte ¿ Cuándo comenzó la gente a ver una matriz como una transformación lineal entre dos espacios vectoriales? Peano dio la axiomatización moderna de ellos solo en 1888, y los llamó sistemas lineales. Pero el uso de "un álgebra" en un sentido esencialmente moderno se remonta a 1870, cuando Benjamin Peirce (el padre de CS Peirce, conocido por inventar el condicional material y dar al álgebra booleana su forma moderna) lo introdujo en sus memorias Álgebra asociativa lineal leída a la Academia Nacional de Estados Unidos (publicado en 1881). Lo explicó así:

Todas las relaciones son cualitativas o cuantitativas. Las relaciones cualitativas pueden considerarse por sí mismas sin tener en cuenta la cantidad. El álgebra de tales investigaciones puede llamarse álgebra lógica, de la cual Boole da un buen ejemplo. Las relaciones cuantitativas también pueden considerarse por sí mismas. independientemente de la cualidad. Pertenecen a la aritmética, y el álgebra correspondiente es el álgebra común o aritmética. En todas las demás álgebras, ambas relaciones deben combinarse, y el álgebra debe ajustarse al carácter de las relaciones. Los símbolos de un álgebra, con las leyes de combinación, constituyen su lenguaje; los métodos de usar los símbolos en el dibujo de inferencias es su arte; y su interpretación es su aplicación científica. Este análisis triple del álgebra se adopta del presidente Hill, de la Universidad de Harvard, y se convierte en la base de una división en libros " (la negrita es mía).

Como indica la cita, el uso de "un álgebra" de manera más amplia para un sistema de objetos con "suma" y "multiplicación" es anterior a Peirce. El "álgebra asociativa lineal" es específicamente lo que hoy llamamos un álgebra sobre$\mathbb{C}$en sentido estricto. Un término alternativo utilizado en ese momento era "sistema numérico hipercomplejo" y el campo era un área de investigación vibrante desde el descubrimiento de Hamilton de los cuaterniones y el "álgebra geométrica" ​​de Grassman. Cayley, Sylvester, Frobenius, Veblen, Wedderburn, etc., trabajaron en él en la segunda mitad del siglo XIX y principios del XX. La famosa clasificación de álgebras de división sobre$\mathbb{R}$( Teorema de Frobenius ) pertenece a este período.

También se exploraron extensamente varias conexiones con la geometría, ya presentes en Hamilton y Grassman, especialmente después de la promoción del Programa de Erlangen por parte de Klein, consulte ¿ Cuál fue la motivación del espacio-tiempo de Minkowski antes de la relatividad especial? Además de la geometría algebraica contemporánea, el campo fue una importante incubadora de ideas y técnicas que luego Emmy Noether y van der Waerden moldearon en álgebra abstracta moderna en la década de 1920. Fue entonces cuando la definición se amplió más allá$\mathbb{C}$a álgebras sobre campos arbitrarios. Para obtener más información sobre esta historia posterior, consulte ¿Cuál fue la evolución de la "base" y el "conjunto generador" en álgebra?

Un trabajo histórico autorizado sobre los primeros días de las álgebras asociativas lineales es Joseph HM Wedderburn de Parshall y la teoría de la estructura de las álgebras . Un relato muy perspicaz y muy bien escrito (aunque menos históricamente riguroso) del trabajo del siglo XIX sobre números hipercomplejos y geometrías kleinianas es Felix Klein and Sophus Lie de Yaglom . Su alcance es mucho más amplio que su título, explora la interacción de ideas algebraicas y geométricas también en obras de Galois, Poncelet, Hamilton, Grassmann, Cayley, Peirce, Clifford, etc., y brinda detalles biográficos y extensas referencias a originales y secundarias. fuentes.

Entre las álgebras y los espacios vectoriales estaba (y todavía está, como se enseña en algunos cursos de física o en los conocidos como Vector Calculus en muchas universidades americanas) el álgebra de vectores desarrollada por Oliver Heaviside para atender las necesidades de la física. Apareció en su artículo "Sobre las fuerzas, tensiones y flujos de energía en el campo electromagnético", Philosophical Transactions of the Royal Society (1892), pp. 521-574 y trata rigurosamente las ahora familiares operaciones en vectores como escalar o producto vectorial, también divergencia y rotacional.

El comentario de Ido Yavetz en el capítulo 49 (sobre los papeles eléctricos de Heaviside) en "Hitos escritos en matemáticas occidentales 1640-1940", editado por Ivor Grattan-Guinness, Elsevier, 2005, explica los orígenes algebraicos del trabajo de Heaviside:

"Lo notable del álgebra vectorial tal como la conocemos actualmente es que no surgió de un intento directo de formalizar aplicaciones tan familiares. En cambio, hizo su primera aparición en el contexto de la invención altamente innovadora e idiosincrásica de los cuaterniones de Hamilton. (...) En su contexto cuaterniónico, sin embargo, los vectores poseían propiedades formales que resultaban difíciles de aplicar a los problemas físicos, por lo que Gibbs y Heaviside tuvieron que extraer el vector de sus fundamentos cuaterniónicos y establecerlo en sus propios fundamentos formales. "

Agregado el 11 de noviembre de 2016: Una buena referencia es: Michael J. Crowe, A history of vector analysis: the evolution of the idea of ​​a vector system. Publicado originalmente por Notre Dame University Press, 1962; Dover reimprime 1985 y 1994.