¿De dónde viene la letra S en "unidades SSS" y en la localización S−1RS−1RS^{-1} R?

En teoría de números, podemos encontrarnos con la noción de S -unidad , S -entero, etc. donde S es un conjunto finito de números primos (por simplicidad). Por ejemplo, si S = { 2 , 3 } entonces el S -Los números enteros son los elementos de Z [ 1 / 6 ] . Me preguntaba si hay una razón particular por la cual la carta S fue elegido para denotar sistemáticamente un conjunto finito de números primos. No me sorprendería si viniera de una palabra alemana (como muchas palabras de teoría numérica).

Mi primer pensamiento de que el S -los enteros están relacionados con una localización de Z — como muestra el ejemplo anterior. Por lo general, cuando R es un anillo conmutativo y S ⊂ R se cierra multiplicativamente con 1 ∈ S (p.ej S es el conjunto de potencias de 6 ), podemos construir un nuevo anillo denotado por S − 1 R . Mi segunda pregunta es: ¿por qué elegimos S como carta? ¿Es solo por " subconjunto ", o porque S es la siguiente letra después R ?

No sé dónde/cuándo/quién introdujo por primera vez estas dos nociones, la de S -entero, y el de localización. No estoy seguro de que estos dos estén relacionados históricamente, al menos en la elección de la letra. S . Agradecería cualquier dato al respecto.

¡Muchas gracias!

Primero, debe incluir ∞ en S para su ejemplo: en campos numéricos, S -los enteros son enteros en todos los lugares fuera S . De todos modos, creo que el concepto de S -unidades precedidas S -enteros y surgieron por primera vez en el contexto de la S -Teorema de la unidad de Hasse y Chevalley. Esperaba que la búsqueda de "unidad S" en MathSciNet ayudara, pero no es así porque arroja resultados como el "teorema de la unidad de Dirichlet", que literalmente tiene el término "unidad s" como parte de él.
No todos usan S , por ejemplo, la teoría básica de los números de Weil ( 1967 ) tiene sistemáticamente PAG . No parece imposible que S y S -unidad apareció por primera vez en Artin-Whaples ( 1945 , p. 487).

Respuestas (1)

Como sugiere Francois Ziegler en su comentario, la notación S y plazo S -la unidad podría remontarse a Artin y Whaples en su artículo sobre la fórmula del producto: "Caracterización axiomática de campos por la fórmula del producto para valoraciones" (Bull. AMS 51 (1945), 469-492). Aquí escriben S para un conjunto finito no vacío de primos que incluye todos los primos de Arquímedes y definen S -unidades en pág. 487.

El S El teorema de la unidad está en forma débil como Teorema 5 (p. 489) y en su forma completa como Teorema 6 (p. 491), con una nota al pie que atribuye el enunciado del teorema a Hasse y la demostración a Chevalley en el artículo de Chevalley sobre clase de teoría de campo en Annals of Math. 41 (1940), 394-418. Allí Chevalley escribe mi , no S , para un conjunto finito de "divisores primos que contienen todos los divisores primos infinitos" y el S El teorema de la unidad se enuncia dos párrafos después del Teorema 3. Dado que el artículo de Chevalley es la apariencia original del S -teorema de la unidad, utilizando la notación que ya no existe hoy en día, se parece a la notación S y el término S -unidad se deben a Artin y Whaples.

A pesar de S -las unidades son el grupo unitario del anillo de S -enteros, el concepto de un S -integer vino más tarde ya que Artin y Whaples no mencionan ningún tipo de enteros generalizados de este tipo en su artículo. Es algo históricamente apropiado que S -las unidades se crearon antes del anillo del que son unidades, ya que Chevalley hizo lo mismo con los ideles: definió ese grupo (1936) y trabajó con él antes de que nadie hubiera definido el anillo de adeles del que los ideles son el grupo unidad. Extraño pero cierto. La página de Wikipedia para grupos algebraicos adélicos señala que Chevellay comenzó a usar el término "idele" en 1940, mientras que los adeles se llamaban reparticiones y (tesis de Tate) vectores de valoración antes de que el término "adele" se convirtiera en estándar más tarde en la década de 1950.

Muchas gracias por tu maravillosa respuesta. ¿Crees que debería hacer una nueva pregunta para la localización, ya que aparentemente no tiene nada que ver con el S -unidades, S -enteros,...?
(Por cierto, ¿sabes dónde apareció por primera vez la palabra "adele"? Aparentemente, idele proviene de "ideales Element", introducido entonces por Chevalley como mencionas. He leído en Wikipedia que "adele" significa "aditivo idele " , y está relacionado con la filosofía de Bourbaki…).
Haciendo una búsqueda en MathSciNet (donde las reseñas se remontan a 1940), la primera aparición de adele fuera de ser un nombre de mujer es la reseña de Iwasawa MR0105410 en 1957, donde escribe "los llamados vectores de valoración (adèles)", y la reseña de Cartier MR0094362 también en 1957 no usa ningún término especial y dice mucho para describir este anillo (ver la primera oración). En 1953, Iwasawa decía "vector de valoración" (ver la revisión de Tate de MR0053970). La página de Wikipedia de adelic alg. groups tiene un enlace a numdam.org/article/SB_1954-1956__3__23_0.pdf de diciembre de 1954 que dice adeles. Entonces 1954?
Cartier fue miembro de Bourbaki entre 1955 y 1983, por lo que si no estaba usando "adele" en esa revisión de 1957, entonces ni siquiera era estándar en francés.
Con respecto a la localización, la sección Nota histórica al final del Álgebra conmutativa de Bourbaki dice que la idea se remonta originalmente a Grell (Math. Ann. 97 (1926), 490-523, p. 510 según la primera nota al pie de página de Chevalley, "On the noción del anillo de cocientes de un ideal primo", Bull. AMS 50 (1944), 93-97) y el caso general se debe a Uzkov en 1948. No hay "S" en el artículo de Grell para un mult. establecido pero hay en Chevalley, que escribe o S . Usos de Uzkov S y R S , que es similar a Chevalley. Parece que R S precedido S − 1 R .
¿De dónde viene la letra S en "unidades SSS" y en la localización S−1RS−1RS^{-1} R?
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