¿Podemos hacer algo mejor que "un espinor es algo que se transforma como un espinor"?

La formalización análoga adecuada de los espinores no es verlos como una especie de funciones diferentes de los tensores en el mismo espacio vectorial subyacente.$V$, sino para ampliar nuestra idea de la geometría subyacente: donde los tensores son funciones multilineales en espacios vectoriales, los tensores con partes "espinor" y "vector" son funciones multilineales en superespacios vectoriales $V = V_0\oplus V_1$donde la parte impar$V_1$es una representación espinorial de$\mathrm{Spin}(V_0)$. (nlab llama a estos espacios espaciotiempos super-Minkowski ).

A través de la representación dual, las funciones lineales en$V_1$heredar una representación del grupo de espín. Las funciones (multi)lineales también heredan la supergraduación (una función lineal que es cero en la parte impar es par, y una función lineal que es cero en la parte par es impar), y tales funciones puramente pares son simplemente tensores ordinarios , y las funciones puramente impares son espinores puros.

Tenga en cuenta que todavía ponemos en la representación de giro$V_1$a mano: la elección no está determinada por el espacio base$V_0$. De alguna manera, esto no es sorprendente: una noción de "espín" y espinor es genuinamente más que tener un espacio vectorial: todas las variedades (pseudo-Riemannianas) (modeladas en los espacios vectoriales$\mathbb{R}^n$) tienen una noción de tensores construida sobre productos tensoriales de los espacios (co)tangentes, pero no todas las variedades tienen espinores , es decir, la posibilidad de asociar consistentemente una representación espinorial a cada punto de la variedad. Para espacios vectoriales simples, la elección de una noción de espín no está obstruida, pero sigue siendo una elección.

Que el enfoque supergeométrico es, sin embargo, el "correcto" (o al menos útil) se ve cuando nos dirigimos a la teoría de campos, donde uno debe representar los grados de libertad fermiónicos/espinoriales mediante variables anticonmutantes, y el$\mathbb{Z}/2$-graduar el espacio vectorial subyacente nos permite hacer esto simplemente declarando que los componentes impares son anti-conmutadores.

Creo que estás pidiendo intuición en la dirección equivocada aquí.

Supongamos que alguien ya está familiarizado con los vectores y quiere entender los tensores. Eso es posible, porque las representaciones de tensor se construyen a partir de vectores, es decir, el rango$2$la representación tensorial es solo el producto de dos representaciones vectoriales, o equivalentemente un rango$2$tensor es un mapa bilineal en dos vectores.

Pero es precisamente lo contrario con los espinores. ¡Los espinores no se construyen a partir de vectores, sino que los vectores se construyen a partir de espinores! Los espinores son las representaciones más simples posibles del grupo de Lorentz, y la representación vectorial es el producto de un espinor zurdo y un espinor derecho (o, de manera equivalente, un vector es un mapa bilineal en dos espinores).

En otras palabras, preguntar qué subyace a los espinores es una pregunta equivocada. Los espinores son la estructura subyacente a todo lo que ya sabías. Necesita reconstruir su comprensión con los espinores en la parte inferior, no en la parte superior.

Esto sucede mucho en física: no se puede pedir una derivación intuitiva de una cosa fundamental a partir de una cosa compuesta. Lo que está preguntando es análogo a preguntar de qué átomos está hecho un protón, o cuántos protones hay dentro de un quark, o cómo construir un vector a partir de tensores. (Por cierto, aprender matemáticas más sofisticadas, como se sugiere en las otras respuestas, nunca responde tales preguntas, porque estas preguntas inherentemente no tienen respuestas. Lo que realmente sucede es que en el proceso de aprender matemáticas, te familiarizas con estos nuevos objetos elementales Una vez que puede trabajar con ellos con fluidez, deja de preocuparse por explicarlos en términos de cosas que sabía antes, porque los entiende en sus propios términos).

Sí. Los espinores son elementos de espacios de representación de objetos conocidos como álgebras de Clifford .

Un álgebra de Clifford es básicamente un espacio vectorial convertido en un álgebra a través de la regla del producto.

$$v\cdot w=2g(v,w)\Bbb{1}$$

dónde$g$es alguna métrica en el propio espacio vectorial. El álgebra de Clifford más famosa es el álgebra de Dirac, es decir, el álgebra de las matrices de Dirac (para las que el espacio vectorial es$\Bbb{R}^{4}$y la métrica es la métrica de Minkowski). Si en cambio usas$\Bbb{R}^{3}$como espacio vectorial base, con la métrica euclidiana, se obtiene el álgebra de Pauli.

Una vez que tenga un álgebra de Clifford, puede buscar sus representaciones (o "módulos", como se les conoce en la literatura). Los elementos de estas representaciones son los espinores . Los espinores correspondientes a$\Bbb{R}^{4}$con la métrica de Minkowski son los espinores de Dirac, mientras que los correspondientes a$\Bbb{R}^{3}$con la métrica euclidiana son los espinores de$SO(3)$/$SU(2)$.

Bueno, deberías mirar las representaciones (irreducibles) del grupo de Lorentz. Básicamente, desea que todos sus ingredientes tengan transformaciones correctas y consistentes bajo el grupo de Lorentz.

Los espinores de Weyl y Dirac son los objetos más básicos que satisfacen ese requisito.

A partir de ellos, puede construir vectores como combinaciones (multiplicativas) de dos espinores. Es por eso que en los textos antiguos a veces ves espinores a los que se hace referencia como 'medios vectores'. Además, en este contexto, usan solo la 'mitad' de la transformación de un vector, es decir, de un lado frente a dos lados.

En ese sentido sus Espinores->Vectores->Tensores.

Si te apetece, también puedes ver las cosas en el contexto del álgebra geométrica o el álgebra del espacio-tiempo desde David Hestenes. Aquí puede tener espinores libres de cualquier representación matricial.

También me vienen a la mente otras dos referencias con perspectivas diferentes: Spinors y el espacio-tiempo (Penrose) y GRAVITATION (Misner Thorne Wheeler)

Sin embargo, el tema común de todos los enfoques son las propiedades especiales y fundamentales de transformación que tienen. No puedes evitar eso.

Estoy tomando la ruta del álgebra de Clifford como lo señalaron non-user38741 y Giorgio Comitini, pero intentaré justificar intuitivamente cómo terminar allí y cómo la ley de transformación del espinor parece inevitable. Así que empiezo con el álgebra geométrica, que es simplemente otro nombre para el álgebra de Clifford cuando se usa en un contexto de física, y los vectores se toman como elementos del álgebra en sí mismos (es decir, no estamos imponiendo un álgebra matricial separada). Tómalo$\mathbb{R}^{n, m}$con producto interior$<\cdot,\cdot>$, y definir el álgebra geométrica$\mathcal{G}(\mathbb{R}^{n, m})$como el álgebra asociativa más libre sobre$\mathbb{R}^{n, m}$que satisface

$$\begin{equation} v^2 = <v, v>, \end{equation}$$ donde el cuadrado es, por supuesto, la multiplicación del álgebra. Llamaremos a la multiplicación en este álgebra el producto geométrico .

Es cierto que esto introduce otro espacio, pero que es extremadamente natural: los elementos del álgebra geométrica pueden interpretarse como compuestos por los escalares, los vectores de$\mathbb{R}^{n, m}$, los bivectores $u\wedge v$dónde$u$y$v$son vectores y$u\wedge v := \frac{1}{2}(uv - vu)$, los 3-vectores$u\wedge v\wedge w$y así sucesivamente, hasta (n + m) -vectores. El$n$-los vectores se pueden interpretar como elementos dirigidos de área/volumen/n-volumen. Para una introducción caprichosa, consulte "Los números imaginarios no son reales" , o como una introducción completa, ya sea "Álgebra de Clifford al cálculo geométrico" de Hestenes o Álgebra geométrica para físicos de Doran y Lasenby .

Ahora, resulta que una rotación del vector$v$en el plano definido por un bivector simple$\omega$por$|\omega|$radianes (donde el valor absoluto es$\sqrt{-\omega^2}$, ya que la plaza de$\omega$es negativo) se puede expresar en álgebra geométrica (GA) como

$$\begin{equation} v \mapsto \exp(\omega) v \exp(-\omega), \end{equation}$$ donde el exponencial está definido por la serie de potencias habitual, siendo la multiplicación el producto geométrico, y un bivector simple es un bivector que se puede escribir como el producto de cuña$a \wedge b$para algunos vectores$a, b$. Entonces, una rotación general viene dada por la misma fórmula, pero con la$\omega$no siendo necesariamente simple (es decir, puede necesitar ser una suma de varios bivectores simples). El resultado de la exponencial está entonces en la subálgebra par , es decir, se construye a partir de objetos que se pueden expresar como una suma de productos de un número par de factores vectoriales. Llamamos al resultado de la exponenciación un rotor , y a menudo denotamos$R = \exp(\omega)$. Entonces el objeto en el lado derecho de la transformación también se puede escribir como$\tilde{R}$, donde la tilde denota reversión , lo que simplemente significa tomar cada factor en un producto geométrico e invertir su orden. Más,$R \tilde{R} = 1$cuando$R$es un rotor.

Aparece el primer atisbo de una ley de transformación similar a la de un espinor: en general, podemos rotar todos los elementos del espacio según la ley de rotación bilateral dada anteriormente, y nada cambia. Sin embargo, si representamos rotaciones por el rotor$\exp(\omega)$, entonces la composición de las rotaciones viene dada por$\exp(\omega_1) \exp(\omega_2)$, que también es un rotor.

Ahora, atengámonos específicamente a$\mathbb{R}^{1, 3}$. Entonces podemos escribir la ecuación libre de Dirac como

$$\begin{equation} \nabla \psi I_3 + m \psi = 0, \end{equation}$$ dónde$\nabla$es la derivada vectorial $\nabla = e^\mu \partial_\mu$, y el$e^\mu$son vectores base que actúan a través del producto geométrico (de modo que$\nabla$sí mismo es algebraicamente un vector). El campo de Dirac$\psi$toma valores en la subálgebra par del álgebra geométrica.$I_3$es un vector de tres que parece elegir una porción preferida de espacio-tiempo y, por lo tanto, rompe la invariancia de Lorenz. Sin embargo, considere otra opción dada por$I'_3 = R I_3 \tilde{R}$. Entonces la nueva ecuación de Dirac correspondiente es

$$\begin{equation} \nabla \psi' R I_3 \tilde{R}+ m \psi' = 0. \end{equation}$$ Ahora si$\psi$resuelve la ecuación original de Dirac, entonces claramente$\psi' = \psi \tilde{R}$resuelve esta nueva ecuación con$I_3'$. En otras palabras, cuando el objeto$I_3$se transforma como un (tres) vector bajo rotaciones, entonces$\psi$se transforma como un espinor, y ha aparecido la ley de transformación.

Luego, observe que las predicciones físicas de la teoría solo dependen de las bilineales de Dirac, que en este lenguaje se pueden escribir de manera análoga a

$$\begin{equation} \psi I_3 \tilde{\psi}, \end{equation}$$ y que cuando$I_3$se transforma como un vector de tres y$\psi$como espinor, las predicciones físicas permanecen sin cambios. En otras palabras, aquí se requiere la ley de transformación del espinor para mantener las predicciones físicas de la teoría independientes de la elección del elemento de volumen dirigido.$I_3$.

De hecho, hay una interpretación natural del objeto.$\psi$como producto de un rotor, escalado y una transformada entre escalares y pseudoescalares en$\mathbb{R}^{1,3}$. De esta manera, la ley de transformación del espinor aparece naturalmente como la composición de rotores (u objetos similares a rotores). Por supuesto, dado que no hay un tratamiento de la teoría cuántica de campos en el lenguaje del álgebra geométrica, no está claro qué tan lejos o en serio se puede tomar esto como una interpretación de la ecuación física de Dirac, pero no obstante, al menos proporciona un ejemplo donde los espinores aparecen naturalmente. , sin imponer manualmente la ley de transformación. Más bien, proviene de transformaciones de las soluciones de la ecuación de Dirac cuando la elección de la constante$I_3$se transforma por rotaciones.

Estoy seguro de que esta breve introducción al tema deja muchas preguntas sin respuesta y puede ser un poco confuso, pero si desperté su interés, le sugiero que siga algunos de los enlaces aquí y continúe de esa manera.