Pregunta sobre la verdadera naturaleza del objeto matemático de Spinor [cerrado]

Mi pregunta es un poco tonta, pero realmente me gustaría saber qué es realmente un Spinor. Voy a explicar cuál es mi concepto de "verdaderamente". A lo largo de toda la publicación de preguntas, considere solo espacios vectoriales finitos, y$\mathbb{K} \equiv \mathbb{R}$, el campo. No voy a exhibir pruebas de ningún tipo para ningún objeto definido y expuesto aquí. Me ocuparé únicamente de tensores de segundo orden, en aras de la simplicidad.

1) ¿Qué son realmente los vectores y los covectores?

Un vector es un objeto matemático que es miembro de una estructura algebraica particular llamada espacio vectorial. Eso es:

$$\mathfrak {V} \equiv [\mathcal{V},(\mathbb{K},+_{\mathbb{K}},\cdot_{\mathbb{K}}),\boxplus_{\mathfrak{V}},\boxdot_{\mathfrak{V}}]$$

Dónde$\mathcal{V}$es un conjunto no vacío de elementos,$(\mathbb{K},+_{\mathbb{K}},\cdot_{\mathbb{K}})$otra estructura algebraica llamada Campo;$\boxplus_{\mathfrak{V}}$y$\boxdot_{\mathfrak{V}}$son dos operaciones binarias llamadas, respectivamente, suma de vectores y multiplicación escalar.

La suma de vectores se define como:

$$\begin{array}{rl} \boxplus_{\mathfrak{V}} :\mathcal{V}\times \mathcal{V} &\to \mathcal{V} \\ (v,u)&\mapsto \boxplus_{\mathfrak{V}}(v,u) \equiv v \boxplus_{\mathfrak{V}} u \end{array}$$

La multiplicación escalar se define como:

$$\begin{array}{rl} \boxdot_{\mathfrak{V}} :\mathbb{K}\times \mathcal{V} &\to \mathcal{V} \\ (\alpha,v)&\mapsto \boxdot_{\mathfrak{V}}(\alpha,v)\equiv \alpha \boxdot_{\mathfrak{V}} u \end{array}$$

Además, cada uno de ellos debe satisfacer unas propiedades:

Para$\boxplus_{\mathfrak{V}}$:

(Asociatividad):$v \boxplus_{\mathfrak{V}} (u\boxplus_{\mathfrak{V}} w) = (v\boxplus_{\mathfrak{V}} u)\boxplus_{\mathfrak{V}} w$

(Comutatividad):$v \boxplus_{\mathfrak{V}} u = u\boxplus_{\mathfrak{V}} v$

(Existencia de Elemento Neutro):$\forall v\in \mathcal{V},$ $\exists$ $0_{\mathfrak{V}}$ $|$ $v\boxplus_{\mathfrak{V}} 0_{\mathfrak{V}} = v = 0_{\mathfrak{V}}\boxplus_{\mathfrak{V}} v$

(Existencia del Elemento opuesto):$\exists (-v)$, para cada,$v\in \mathcal{V},$ $|$ $v\boxplus_{\mathfrak{V}} (-v) = 0_{\mathfrak{V}} = (-v) \boxplus_{\mathfrak{V}} v$

Para$\boxdot_{\mathfrak{V}}$:

$\alpha \boxdot_{\mathfrak{V}} (v\boxplus_{\mathfrak{V}} u) = \alpha \boxdot_{\mathfrak{V}} v \boxplus_{\mathfrak{V}} \alpha \boxdot_{\mathfrak{V}}u$

$(\alpha +_{\mathbb{K}} \beta)\boxdot_{\mathfrak{V}} v = \alpha \boxdot_{\mathfrak{V}} v \boxplus_{\mathfrak{V}} \beta \boxdot_{\mathfrak{V}}v$

$(\alpha \cdot_{\mathbb{K}} \beta)\boxdot_{\mathfrak{V}} v = \alpha \boxdot_{\mathfrak{V}} (\beta \boxdot_{\mathfrak{V}}v)$

$1_{\mathbb{K}} \boxdot_{\mathfrak{V}} v = v$

Dónde$1_{\mathbb{K}}$es el elemento de identidad, o la unidad escalar del campo (en nuestro caso$1_{\mathbb{K}} = 1\in \mathbb{R}$, y$0_{\mathfrak{V}}$es el vector cero del espacio vectorial.

Entonces, con todas estas propiedades podemos hablar verdaderamente (definimos lo que es) sobre lo que es un vector .

$$* * *$$

Consideremos ahora, un nuevo tipo de objeto que generaliza la noción de una función lineal; los nuevos objetos se denominan Transformaciones lineales (o mapas lineales):

$$\begin{array}{rl} L :\mathfrak{V} &\to \mathfrak{W} \\ v&\mapsto L[v] := \cdot\end{array}$$

(el símbolo$L[v]$significa tanto que el mapa lineal L está actuando sobre un vector v y, la imagen de L en$\mathfrak{W}$). el otro simbolo$:= \cdot$significa "dar alguna definición para$L$")

Y estos mapas lineales deben satisfacer dos "restricciones" llamadas condición de linealidad:

$L[v \boxplus_{\mathfrak{V}} u ] = L[v] \boxplus_{\mathfrak{W}} L[u]$

$L[\alpha \boxdot_{\mathfrak{V}} v] = \alpha \boxdot_{\mathfrak{W}} L[v]$

Ahora, considere entonces el conjunto de todos los mapas lineales:

$$\mathcal{L}(\mathfrak{V},\mathfrak{W})\equiv \mathcal{L} = \Big\{ L\in \mathcal{L}(\mathfrak{V},\mathfrak{W}) | L: \mathfrak{V} \to \mathfrak{W} \Big\}$$

y luego defina dos nuevas operaciones binarias:

$$\begin{array}{rl} \boxplus_{\mathfrak{Lin}} :\mathcal{L}\times \mathcal{L} &\to \mathcal{L} \\ (L,T)&\mapsto \boxplus_{\mathfrak{Lin}}(L,T) \equiv L \boxplus_{\mathfrak{Lin}} T \end{array}$$

$$\begin{array}{rl} \boxdot_{\mathfrak{Lin}} :\mathbb{K}\times \mathcal{L} &\to \mathcal{L} \\ (\alpha,L)&\mapsto \boxdot_{\mathfrak{Lin}}(\alpha,L) \equiv \alpha \boxdot_{\mathfrak{Lin}} L \end{array}$$

Ahora, estas operaciones en realidad definen dos mapas, llamados:

La suma de mapas lineales, definida como:

$$\begin{array}{rl} L \boxplus_{\mathfrak{Lin}} T:\mathfrak{V} &\to \mathfrak{W} \\ v&\mapsto (L \boxplus_{\mathfrak{Lin}} T)[v] := L[v] \boxplus_{\mathfrak{W}} T[v] \end{array}$$

La multiplicación escalar de mapas lineales, definida como:

$$\begin{array}{rl} \alpha \boxdot_{\mathfrak{Lin}} L:\mathfrak{V} &\to \mathfrak{W} \\ v&\mapsto (\alpha \boxdot_{\mathfrak{Lin}} L)[v] := \alpha \boxdot_{\mathfrak{W}} L[v] \end{array}$$

y cada uno debe satisfacer la condición de linealidad para convertirse en un mapa lineal.

Luego, con la maquinaria de arriba podemos llamar al conjunto$\mathcal{L}(\mathfrak{V},\mathfrak{W})$un espacio vectorial.

$$\mathfrak{Lin}(\mathfrak{V},\mathfrak{W}) \equiv \mathfrak{Lin} \equiv [\mathcal{L}(\mathfrak{V},\mathfrak{W}),(\mathbb{K},+_{\mathbb{K}},\cdot_{\mathbb{K}}),\boxplus_{\mathfrak{Lin}},\boxdot_{\mathfrak{Lin}}]$$

Este espacio vectorial se denomina Espacio Vectorial de Transformaciones Lineales. Y los elementos se llaman (obviamente) Transformaciones Lineales o Mapas Lineales

$$* * *$$

Considere ahora un tipo particular de mapa lineal definido como:

$$\begin{array}{rl} f:\mathfrak{V} &\to \mathbb{K} \\ v&\mapsto f[v] := \cdot\end{array}$$

y luego considere el conjunto de todos estos mapas lineales:

$$\mathcal{L'}(\mathfrak{V},\mathbb{K}) = \mathcal{L'} = \Big\{ f \in \mathcal{L}(\mathfrak{V},\mathbb{K}) | f: \mathfrak{V} \to \mathbb{K} \Big\}$$

y luego definir dos operaciones binarias:

$$\begin{array}{rl} \boxplus_{\mathfrak{Lin}'} :\mathcal{L'}\times \mathcal{L'} &\to \mathcal{L'} \\ (f,g)&\mapsto \boxplus _{\mathfrak{Lin}'}(f,g) \equiv f \boxplus_{\mathfrak{Lin}'} g \end{array}$$

$$\begin{array}{rl} \boxdot_{\mathfrak{Lin}'} :\mathbb{K}\times \mathcal{L'} &\to \mathcal{L'} \\ (\alpha,f)&\mapsto \boxdot_{\mathfrak{Lin}'}(\alpha,f) \equiv \alpha \boxdot _{\mathfrak{Lin}'} f \end{array}$$

Ahora, estas operaciones en realidad definen dos mapas, llamados:

La suma de covectores, definida como:

$$\begin{array}{rl} f \boxplus_{\mathfrak{Lin}'} g:\mathfrak{V} &\to \mathbb{K} \\ v&\mapsto (f \boxplus_{\mathfrak{Lin}'} g)[v] := f[v] + _{\mathbb{K}} g[v] \end{array}$$

La multiplicación escalar de covectores, definida como:

$$\begin{array}{rl} \alpha \boxdot_{\mathfrak{Lin}'} f:\mathfrak{V} &\to \mathbb{K} \\ v&\mapsto (\alpha \boxplus_{\mathfrak{Lin}'} f)[v] := \alpha \cdot_{\mathbb{K}}f[v] \end{array}$$

y, nuevamente, cada uno debe satisfacer la condición de linealidad para convertirse en un mapa lineal.

Luego, con la maquinaria de arriba podemos llamar al conjunto$\mathcal{L}(\mathfrak{V},\mathbb{K})$un espacio vectorial.

$$\mathfrak{Lin}'(\mathfrak{V},\mathbb{K}) \equiv \mathfrak{V}^{*} \equiv [\mathcal{L}(\mathfrak{V},\mathbb{K}),(\mathbb{K},+_{\mathbb{K}},\cdot_{\mathbb{K}}),\boxplus_{\mathfrak{Lin}'},\boxdot_{\mathfrak{Lin}'}]$$

Este espacio vectorial se llama espacio vectorial dual. Los elementos del espacio vectorial dual se denominan covectores .

$$* * *$$

Entonces, hemos definido qué es un vector, un mapa lineal y un covector. En particular para vectores y covectores, existe un hecho matemático (sobre la base de un espacio vectorial y un espacio dual) que nos permite escribir un elemento de$\mathfrak{V}$(y$\mathfrak{V}^{*}$) en términos de una combinación lineal de otros vectores, llamados vectores base$\vec{e}_{\mu}$y covectores base$e'^{\nu}$:

Para los vectores (también llamados Vectores Contravariantes) tenemos:

$$\vec{v} = \sum _{\mu}v^{\mu} \boxdot _{\mathfrak{V}} \vec{e}_{\mu}$$

Para covectores (también llamados, Funcional Lineal, Vectores Convariantes y Forma Lineal) tenemos:

$$f'[v]= (\sum _{\nu}f_{\nu} \boxdot _{\mathfrak{V}} e'^{\nu})[v] \implies f= \sum _{\nu}f_{\nu} \boxdot _{\mathfrak{V}} e'^{\nu}$$

$$* * *$$

2) ¿Qué es realmente un tensor?

Es bastante común definir tensores como objetos que tienen un comportamiento bastante predecible llamado transformación de componentes con respecto a dos coordenadas;$x^{\gamma} \to x'^{\gamma}(x^{\gamma})$:

$$T'^{\mu}_{\nu} = \frac{\partial x'^{\mu}}{\partial x^{i}} \frac{\partial x^{j}}{\partial x'^{\nu}}T^{i}_{j}$$

donde el$T'^{\mu}_{\nu}$son las componentes del Tensor T en coordenadas$x'^{\gamma}(x^{\gamma})$y, de manera similar$T^{i}_{j}$son los componentes del mismo tensor$T$en coordenadas$x^{\gamma}$. Y el bosque de parciales es en realidad lo que significa "comportamiento predecible"; son matrices jacobianas o matrices de transformación de coordenadas.

Bien, tenemos esta definición de tensor. Pero, ¿qué significa "Tensor T "? Bueno, para responder a esta pregunta, tenemos que mostrar el tensor como

$$T =T^{\mu}_{\nu}\boxdot (some "tensor" basis)$$

y algún tipo de "espacio tensorial".

La verdad es que ambos conceptos están bien definidos.

$$* * *$$

La verdadera respuesta a la pregunta "¿qué es un tensor?" es que el objeto matemático llamado Tensor, es meramente un elemento de una estructura algebraica llamada Espacio vectorial Producto Tensor (o simplemente Producto Tensor o Espacio Tensor).

Pero para hablar de tensores necesitamos una pequeña (necesaria) digresión sobre la bilinealidad.

2.1) Mapas bilineales

Es bien sabido del álgebra lineal elemental la noción de producto interior. E incluso antes del álgebra lineal, en cálculo vectorial ciertamente estudiaste el producto escalar$\vec{A} \cdot \vec{B}$. Pero, nuevamente, a partir del álgebra lineal elemental te diste cuenta de que el producto escalar es solo un ejemplo particular del producto interno. Pero el núcleo de la operación es que todo el proceso trata con dos vectores (para devolver un escalar en este caso).

En general tenemos entonces que el producto interior se define como el siguiente mapa:

$$\begin{array}{rl} \langle \cdot ,\cdot \rangle :\mathfrak{V}\times \mathfrak{W} &\to \mathbb{K} \equiv \mathfrak{Z} \\ (v,w)&\mapsto \langle \cdot ,\cdot \rangle[(v,w)] \equiv \langle v ,w \rangle :=\cdot \end{array}$$

y, el producto interior debe satisfacer las siguientes propiedades:

$1) \langle v \boxplus _{\frak V} v' ,w \rangle = \langle v ,w \rangle \boxplus _{\mathbb{K}} \langle v' ,w \rangle$

$2) \langle v,w \boxplus _{\frak W} w' \rangle = \langle v ,w \rangle \boxplus _{\mathbb{K}} \langle v ,w' \rangle$

$3) \langle \alpha \boxdot _{\frak V} v , w \rangle = \alpha \boxdot _{\mathbb{K}} \langle v ,w \rangle$

$4) \langle v , \alpha \boxdot _{\frak W} w \rangle = \alpha \boxdot _{\mathbb{K} } \langle v ,w \rangle$

$5) \langle v ,w \rangle = \langle w ,v \rangle$

$6) \langle v ,v \rangle \geq 0_{\mathbb{K}}$

$7)$Si$\langle v ,v \rangle = 0_{\mathbb{K}} \implies v = 0_{\mathfrak{V}}$

Bueno, este mapa en particular nos muestra, con propiedades$1)$a$4)$la naturaleza bilineal de un mapa, lo que significa que todo el mapa es lineal en cada ranura. En otras palabras, cada ranura define un mapa lineal.

$$\begin{array}{rl} \langle \_,\cdot \rangle :\mathfrak{V}&\to \mathbb{K} \equiv \mathfrak{Z} \\ v&\mapsto \langle \_,\cdot \rangle[v] \equiv \langle v ,\cdot \rangle :=\cdot \end{array}$$

$$\begin{array}{rl} \langle \cdot,\_ \rangle :\mathfrak{W}&\to \mathbb{K} \equiv \mathfrak{Z} \\ w&\mapsto \langle \cdot,\_ \rangle[w] \equiv \langle \cdot, w \rangle :=\cdot \end{array}$$

$$* * *$$

Ahora, podemos definir un nuevo tipo de objeto llamado Transformación bilineal (o mapa bilineal, función bilineal) como:

$$\begin{array}{rl} B:\mathfrak{V}\times \mathfrak{W} &\to \mathfrak{X} \\ (v,w)&\mapsto B[(v,w)] :=\cdot \end{array}$$

y, el mapa bilineal debe satisfacer las siguientes propiedades:

$1) B[(v \boxplus _{\frak V} v' ,w)] = B[(v ,w)] \rangle \boxplus _{\frak{X}} B(v' ,w)]$

$2) B[(v,w \boxplus _{\frak W} w')] = B[(v ,w)] \boxplus _{\frak{X}} B[(v ,w')]$

$3) B[(\alpha \boxdot _{\frak V} v , w)] = \alpha \boxdot _{\frak X}B[(v , w)]$

$4) B[(v,\alpha \boxdot _{\frak W} w)] = \alpha \boxdot _{\frak X}B[(v , w)]$

Ahora, considere entonces el conjunto de todos los mapas bilineales:

$$\mathcal{L}_{2}(\mathfrak{V}\times\mathfrak{W};\mathfrak{X})\equiv \mathcal{L}_{2} = \Big\{ B\in \mathcal{L}_{2}(\mathfrak{V}\times\mathfrak{W},\mathfrak{X}) | B: \mathfrak{V} \times \mathfrak{W} \to \mathfrak{X} \Big\}$$

y luego defina dos nuevas operaciones binarias:

$$\begin{array}{rl} \boxplus_{\mathfrak{Lin}_{2}} :\mathcal{L}_{2}\times \mathcal{L}_{2} &\to \mathcal{L}_{2} \\ (B,M)&\mapsto \boxplus_{\mathfrak{Lin_{2}}}(B,M) \equiv B \boxplus_{\mathfrak{Lin_2}} M \end{array}$$

$$\begin{array}{rl} \boxdot_{\mathfrak{Lin}_{2}} :\mathbb{K}\times \mathcal{L}_{2} &\to \mathcal{L}_{2} \\ (\alpha,B)&\mapsto \boxdot_{\mathfrak{Lin_{2}}}(\alpha,B) \equiv \alpha \boxplus_{\mathfrak{Lin_2}} B \end{array}$$

Ahora, estas operaciones en realidad definen dos mapas, llamados:

La suma de mapas bilineales, definida como:

$$\begin{array}{rl} B \boxplus_{\mathfrak{Lin_{2}}} M:\mathfrak{V}\times \mathfrak{W} &\to \mathfrak{X} \\ (v,w)&\mapsto (B \boxplus_{\mathfrak{Lin_{2}}} M)[(v,w)] := B[(v,w)] \boxplus_{\mathfrak{X}} M[(v,w)] \end{array}$$

La multiplicación escalar de mapas bilineales, definida como:

$$\begin{array}{rl} \alpha \boxdot_{\mathfrak{Lin_{2}}} B:\mathfrak{V} \times \mathfrak{W} &\to \mathfrak{X} \\ (v,w)&\mapsto (\alpha \boxdot_{\mathfrak{Lin_{2}}} B)[(v,w)] := \alpha \boxdot_{\mathfrak{X}} B[(v,w)] \end{array}$$

y cada uno debe satisfacer las condiciones de bilinealidad para convertirse en un mapa bilineal.

Luego, con la maquinaria de arriba podemos llamar al conjunto$\mathcal{L}_{2}(\mathfrak{V},\mathfrak{W},\mathfrak{X})$un espacio vectorial.

$$\mathfrak{Lin_{2}}(\mathfrak{V},\mathfrak{W};\mathfrak{X}) \equiv \mathfrak{Lin_{2}} \equiv [\mathcal{L}_{2}(\mathfrak{V},\mathfrak{W};\mathfrak{X}),(\mathbb{K},+_{\mathbb{K}},\cdot_{\mathbb{K}}),\boxplus_{\mathfrak{Lin_{2}}},\boxdot_{\mathfrak{Lin_{2}}}]$$

Este espacio vectorial se denomina Espacio Vectorial de Transformaciones Bilineales. Y los elementos se llaman (obviamente) Transformaciones Bilineales o Mapas Bilineales

$$* * *$$

Considere ahora un tipo particular de mapa bilineal definido como:

$$\begin{array}{rl} b:\mathfrak{V}\times \mathfrak{V} &\to \mathbb{K} \\ (v,w)&\mapsto b[(v,w)] := \cdot\end{array}$$

y luego considere el conjunto de todos estos mapas bilineales:

$$\mathcal{L'}_{2}(\mathfrak{V}\times\mathfrak{V};\mathbb{K}) = \mathcal{L'}_{2} = \Big\{ b \in \mathcal{L'}_{2}(\mathfrak{V}\times\mathfrak{V},\mathbb{K}) | b: \mathfrak{V}\times \frak V \to \mathbb{K} \Big\}$$

y luego defina dos nuevas operaciones binarias:

$$\begin{array}{rl} \boxplus_{\mathfrak{Lin'}_{2}} :\mathcal{L'}_{2}\times \mathcal{L'}_{2} &\to \mathcal{L'}_{2} \\ (B,M)&\mapsto \boxplus_{\mathfrak{Lin_{2}}}(B,M) \equiv B \boxplus_{\mathfrak{Lin'_2}} M \end{array}$$

$$\begin{array}{rl} \boxdot_{\mathfrak{Lin'}_{2}} :\mathbb{K}\times \mathcal{L'}_{2} &\to \mathcal{L'}_{2} \\ (\alpha,B)&\mapsto \boxdot_{\mathfrak{Lin'_{2}}}(\alpha,B) \equiv \alpha \boxplus_{\mathfrak{Lin'_2}} B \end{array}$$

Ahora, estas operaciones en realidad definen dos mapas, llamados:

La suma de formas bilineales, definida como:

$$\begin{array}{rl} B \boxplus_{\mathfrak{Lin'}_{2}} M:\mathfrak{V}\times \mathfrak{V} &\to \mathbb{K} \\ (v,w)&\mapsto (B \boxplus_{\mathfrak{Lin'_{2}}} M)[(v,w)] := B[(v,w)] \boxplus_{\mathfrak{K}} M[(v,w)] \end{array}$$

La multiplicación escalar de formas bilineales, definida como:

$$\begin{array}{rl} \alpha \boxdot_{\mathfrak{Lin'_{2}}} B:\mathfrak{V} \times \mathfrak{V} &\to \mathbb{K} \\ (v,w)&\mapsto (\alpha \boxdot_{\mathfrak{Lin'_{2}}} B)[(v,w)] := \alpha \boxdot_{\mathbb{K}} B[(v,w)] \end{array}$$

y, nuevamente, cada uno debe satisfacer la condición de bilinealidad para convertirse en un mapa bilineal.

Luego, con la maquinaria de arriba podemos llamar al conjunto$\mathcal{L'}_{2}(\mathfrak{V},\mathfrak{V};\mathbb{K})$un espacio vectorial.

$$\mathfrak{Lin_{2}}'(\mathfrak{V},\mathfrak{V};\mathbb{K}) \equiv[\mathcal{L'}_{2}(\mathfrak{V},\mathbb{K}),(\mathbb{K},+_{\mathbb{K}},\cdot_{\mathbb{K}}),\boxplus_{\mathfrak{Lin}'_{2}},\boxdot_{\mathfrak{Lin}'_{2}}]$$

Este espacio vectorial no tiene un nombre famoso en particular, pero los elementos de este espacio vectorial se denominan formas bilineales o funcionales bilineales .

$$* * *$$

Entonces, después de la introducción al concepto de bilinealidad y mapas bilineales, el camino para comprender el concepto central de tensores está casi terminado.

Definición: Un producto tensorial es un par:$(\mathfrak{T},\bar{\otimes})$.$\frak T$es un espacio vectorial y$\otimes$es una operación (función) bilineal que satisface la siguiente "restricción":

$$B = L \circ \otimes$$

que es el símbolo matemático del diagrama computativo:

Dónde$B$es un mapa bilineal (si hay otros tipos de propiedades particulares),$\otimes$es el mapa de tensor (que es bilineal y SOLO bilineal) y$L$es un mapa lineal.

Ahora, para asegurar que esta construcción sea válida, Steven Roman (Advanced Linear Algebra,Springer,pag 361-366) construye$\frak V \otimes \frak W$en términos de un espacio cociente:

$$\mathfrak{V}\otimes\mathfrak{W} := \frac{\mathfrak{F}_{(\mathfrak{V}\times\mathfrak{W})}}{\mathfrak{S}}$$

Dónde$\mathfrak{F}_{(\mathfrak{U}\times\mathfrak{V})}$se llama espacio vectorial libre de$\frak{V}\times \frak{W}$, cuyos elementos tienen la forma:

$$\sum^{N}_{i=1} r_{i}(u_{i},v_{i})$$

Y$\mathfrak{S}$, un subespacio de$\mathfrak{F}_{(\mathfrak{U}\times\mathfrak{V})}$que están atravesados ​​por vectores de esta forma:

$$\alpha(v,w)+\beta (v',w)-(\alpha v+\beta v',w)$$

$$\alpha (v,w)+\beta (v,w')-(v,\alpha w+\beta w')$$

Entonces los elementos de los productos tensoriales son de hecho:

$$\sum^{N}_{i=1} [\alpha_{i}(v_{i},w_{i}) + \mathfrak{S} ]$$

Las cuales se denominan clases de equivalencia. Es bastante común reescribir las clases equivalentes (elementos del producto tensorial, es decir, tensores) como:

$$\sum^{N}_{i=1} [\alpha_{i}(v_{i},w_{i}) + \mathfrak{S}] = \sum^{N}_{i=1} v_{i}\otimes w_{i}$$

Y, ahora, sobre el mapa de tensores$\otimes$, Roman define de la siguiente manera:

$$\begin{array}{rl} \otimes :\mathfrak{V} \times \mathfrak{W} &\to \mathfrak{V} \otimes \mathfrak{W} \\ (v,w)&\mapsto \otimes[(v,w)] := v \otimes w \equiv (v,w) + \mathfrak{S} \end{array}$$

Y luego probamos que el mapa tensorial es bilineal y el par:

$$\Big(\frac{\mathfrak{F}_{(\mathfrak{V}\times\mathfrak{W})}}{\mathfrak{S}}, \otimes \Big)$$

es el producto tensorial.

$$* * *$$

Entonces, con esa construcción del cociente, Roman nos muestra que la idea del producto tensorial es válida y funciona, lo que significa que la definición de este nuevo espacio vectorial llamado producto tensorial, a través de la maquinaria (y la necesidad) de la propiedad universal, es bastante buena. .

Entonces, si funciona bien para ese espacio de cociente, solo es cuestión de probar para otros tipos de espacios vectoriales si obedecen a esa "maquinaria universal".

Por todo eso, ahora podemos introducir el concepto de tensor como un mapa multilineal, con dos definiciones (yo daré la definición de covariante) [Mecánica Clásica con Mathematica,Romano,Birkhaüser,pag20-22; Relatividad General,Wald,Chicago Press,pag 20]:

Definición 1: Un tensor de dos covariantes o tensor de segundo orden (o (2,0)-tensor) es una forma bilineal:

$$\begin{array}{rl} T :\mathfrak{V} \times \mathfrak{V} &\to \mathbb{K} \\ (v,w)&\mapsto T[(v,w)] := \cdot \end{array}$$

Entonces,$T$claramente es miembro de$\mathfrak{Lin_{2}}'(\mathfrak{V},\mathfrak{V};\mathbb{K})$

Definición 2: El mapa tensorial es:

$$\begin{array}{rl} \bar{\otimes} :\mathfrak{V}^{*} \times \mathfrak{V}^{*} &\to \mathfrak{Lin_{2}}'(\mathfrak{V},\mathfrak{V};\mathbb{K}) \\ (v,w)&\mapsto \bar{\otimes}[(v,w)] \equiv f \bar{\otimes} g \end{array}$$

Y el mapa tensorial define la operación producto tensorial, definida como:

$$\begin{array}{rl} f\bar{\otimes}g :\mathfrak{V}\times \mathfrak{V}&\to \mathbb{K} \\ (v,w)&\mapsto (f \bar{\otimes} g)[(v,w)] := f[v]\boxdot_{\mathbb{K}}g[w] \end{array}$$

Ahora, considérelos como vectores base.${e_{i}} \in \mathfrak{V}$.

tenemos eso$T$, 2-tensor covariante, es una forma bilineal.

$$T[(v,w)] = T[(v^{i}e_{i},w^{j}e_{j})] = (v^{i}\boxdot_{\mathbb{K}}w^{j})\boxdot_{\mathfrak{Lin_{2}}'}T[(e_{i},e_{j})] \equiv (v^{i}\boxdot_{\mathbb{K}}w^{j})\boxdot_{\mathfrak{Lin_{2}}'}T_{ij}=$$

$$= v^{i}w^{j}T_{ij}$$

Pero ahora, considere entonces, covectores base${f^{i}} \in \mathfrak{V}^{*}$bajo el mapa tensorial definido, actuando en los mismos vectores$(v,w)$:

$$(f^{i} \bar{\otimes} f^{j})[(v,w)] = f^{i}[v^{k}e_{k}]\boxdot_{\mathbb{K}}f^{j}[w^{m}e_{m}] = (v^{k}\boxdot_{\mathbb{K}}w^{m})f^{i}[e_{k}]\boxdot_{\mathbb{K}}f^{j}[e_{m}] =$$ $$= (v^{k}\boxdot_{\mathbb{K}}w^{m})\boxdot_{\mathbb{K}}(\delta^{i}_{k}\boxdot_{\mathbb{K}}\delta^{j}_{m})\equiv v^{k}w^{m}\delta^{i}_{k}\delta^{j}_{m} = v^{i}w^{j}$$

Por lo tanto, tenemos propiamente que un$(0,2)$-tensor se puede escribir como:

$$\{T\}[(v,w)] = \{v^{i}w^{j}T_{ij} \}[(v,w)] = \{f^{i} \bar{\otimes} f^{j}T_{ij} \}[(v,w)] \implies$$

$$T = T_{ij} \boxdot _{\mathfrak{Lin'_{2}}} f^{i}\bar{\otimes}f^{j} \equiv$$

$$T = T_{ij}f^{i}\bar{\otimes}f^{j}$$

Y después de todo este horrible texto podemos decir que

i) El producto tensorial de los tensores covariantes son efectivamente:

$$V^{*}\otimes V^{*}\equiv \mathfrak{T}^{0}_{2}(\mathfrak{V}) \approx [\mathfrak{Lin_{2}}'(\mathfrak{V},\mathfrak{V};\mathbb{K}),\bar{\otimes}]$$

escribí$\approx$no$=$porque si miras el diagrama conmutativo encontrarás que hay un mapa lineal$L$. Bien,$L$es un isomorfismo. El diagrama es entonces:

ii) A (covariante)$(0,2)$-tensor se puede escribir como:

$$T = \sum_{\mu}\sum_{\nu}t_{\mu \nu} e^{\mu}\bar{\otimes}e^{\nu}$$

con los vectores de base particular$e^{\mu}\bar{\otimes}e^{\nu}$que se extiende por el$\mathfrak{V}^{*}\otimes \mathfrak{V}^{*}$

3) ¿Qué es verdaderamente un Spinor?

Bueno, sabemos qué es realmente un vector, un covector, un mapa y una forma lineal y bilineal, y tensores. En verdad, un vector es un miembro de un espacio vectorial$\mathfrak{V}$, un mapa lineal es un miembro de$\mathfrak{Lin}(\mathfrak{V},\mathfrak{W})$un covector es un elemento de$\mathfrak{Lin'}(\mathfrak{V},\mathbb{K})$. Un mapa bilineal es un miembro de$\mathfrak{Lin}_{2}(\mathfrak{V},\mathfrak{W},\mathfrak{X})$y una forma bilineal es miembro de$\mathfrak{Lin'}_{2}(\mathfrak{V},\mathfrak{W},\mathbb{K})$.

Finalmente, un tensor es un miembro de$\mathfrak{V}\otimes\mathfrak{W}$(cualquiera que sea la construcción, aquí presenté dos: espacios cocientes y mapas multilineales), un espacio que satisface la propiedad universal.

Ahora me gustaría preguntarles, ¿qué es realmente un espinor? Para responder a mi pregunta, tenga en cuenta todo mi texto, lo que significa que me gustaría una respuesta solo en el ámbito de la dimensión finita, campos (no anillos) y espacios vectoriales (no módulos). Además, si se puede, una respuesta amable e intuitiva pero a la vez bastante general y rigurosa.