Espacio vectorial de C4C4\mathbb{C}^4 y su base, las matrices de Pauli

Una construcción lenta iría...

$$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} = a\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix} +b\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix} +c\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix} +d\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}$$

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$$\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix} =\frac{1}{2} \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} =\frac{1}{2}1_2+\frac{1}{2}\sigma_3$$

$$\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix} =\ ...$$

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$$\Longrightarrow \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} = \frac{a}{2}1_2+\frac{a}{2}\sigma_3+\ ...\ (\text{other combintations of the four matrices})$$

Me gusta decirlo de esta manera:

$$\left(\begin{array}{cc} w+z&x-iy\\ x+iy&w-z\end{array}\right)$$

Así por ejemplo:

$$\left(\begin{array}{cc} 1&5\\1&2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} (1.5)+(-0.5)&(3)-i(2i)\\ (3)+i(2i)&(1.5)-(-0.5)\end{array}\right)$$ Entonces $w=1.5, x=3, y=2i, z=-0.5$y $$\left(\begin{array}{cc} 1&5\\1&2\end{array}\right) = 1.5 + 3\sigma_x + 2i\sigma_y -0.5\sigma_z.$$

Puedes resolver para$w,x,y,z$de las entradas en la matriz fácilmente. Es decir$x$es el promedio de las entradas superior derecha e inferior izquierda, etc.

las matrices$\sigma_0\equiv \boldsymbol{1}_2$,$\sigma_x$,$\sigma_y$y$\sigma_z$formar una base ortonormal de su espacio vectorial con el producto escalar

$$(X,Y) \equiv \frac{1}{2}\operatorname{tr}(X\cdot Y),$$ dónde $X$y $Y$etiquetar cualquier dos complejos $2\times 2$matrices. El factor $1/2$es solo por conveniencia, también puede normalizar sus matrices de Pauli dividiéndolas por $2$.

Todo lo que quieres hacer ahora es descomponer un elemento arbitrario

$$M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$ de su espacio vectorial en la base anterior y calcule los coeficientes. Como de costumbre, esto se hace proyectando sobre esa base por medio del producto escalar $$M = (\sigma_0,M)\cdot\sigma_0 + (\sigma_x,M)\cdot\sigma_x + (\sigma_y,M)\cdot\sigma_y + (\sigma_z,M)\cdot\sigma_z\ .$$

Esto se ha dicho esencialmente en los comentarios anteriores, particularmente en el enlace publicado por Kostya.