Recientemente aprendí que si la degeneración no se levanta en el primer orden en la teoría de la perturbación degenerada, uno tiene que diagonalizar una matriz diferente que juega un papel similar a la matriz de perturbación de primer orden (ver respuestas aquí) para obtener el segundo orden correcciones de energía, pero más importante aún, los autoestados de orden cero correctos.
Mi pregunta es básicamente, ¿existe una manera más fácil de determinar los estados de orden cero correctos, sin resolver la forma sistemática descrita anteriormente?
En particular, sé que en la teoría de perturbación degenerada de primer orden "regular", si uno puede encontrar una simetría del hamiltoniano perturbador (es decir, un operador tal que dónde ) entonces los estados propios simultáneos de ambos y son los estados correctos de orden cero.
¿Esto sigue siendo válido cuando la degeneración no se levanta en primer orden? Estaba convencido de que este era el caso después de trabajar en algunos ejemplos en los que sí, pero ya no estoy seguro de que funcione en general.
Para ser concreto, considere
El hecho de que parece ser invariante bajo sugiere que estos son los autoestados de orden cero correctos y, de hecho, el operador
comparte estados propios con ambos y , ¡pero no son los mismos estados propios!
Específicamente, por ejemplo, este , puede normalizar por E , y establecer , para ver que los vectores propios (con tild) de son
Sin embargo , los valores propios de son -1 para ; y +1 para ambos y , y por lo tanto y . Entonces este operador no puede servir para especificar la mezcla de con afectado por la perturbación.
Cuando se trata de estados "buenos" de orden cero en el subespacio degenerado, por supuesto, va a "preferir" a , ya que ves que caracteriza el espacio en el que se mezclan sus autoestados degenerados, por lo que ha optado por ya- ha levantado la degeneración, consciente de la perturbación. (Consulte el Teorema QM de Griffiths p. 229, Capítulo 6).
Para un atajo, puede mirar la pregunta vinculada. En tu ejemplo, es evidente no se acopla a la perturbación, por lo que permanece sin modificar y desacoplado; efectivamente, elimina el problema.
ZeroTheHero
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