¿De cuántas maneras puedo pasar del 1 al 10 en el siguiente diagrama?

Question

¿De cuántas maneras puedo pasar del 1 al 10 en el siguiente diagrama?

Matemáticas
combinaciones
concurso-matematicas
combinatoria
teorema del binomio
coeficientes binomiales

usuario3347814

Esta es una pregunta básica en combinatoria con un pequeño truco. Considere la siguiente matriz triangular de números:

¿Cuántos caminos hay desde un 1 en la diagonal hasta el 10 en la parte inferior derecha donde solo damos un paso hacia la derecha o hacia abajo? Por ejemplo, aquí hay una ruta legal:

Edición de Baminovski:

Intento: parece que cada ruta está asociada a una secuencia de pasos hacia abajo ( $D$ ) y pasos correctos ( $R$ ) de longitud $9$ . El ejemplo anterior corresponde a $DRDDDRRDD$ . ¿Puede ser cualquier secuencia? ¿Qué es una respuesta correcta?

usuario3347814

Sumando las posibilidades para cada número 1. El primero tiene 1, el segundo tiene 9 y luego me quedé atascado en el tercero y no pude encontrar un patrón.

culver kwan

Agregue su intento en su pregunta para eliminar los votos negativos.

Respuestas (2)

¿De cuántas maneras puedo pasar del 1 al 10 en el siguiente diagrama?

Sumando las posibilidades para cada número 1. El primero tiene 1, el segundo tiene 9 y luego me quedé atascado en el tercero y no pude encontrar un patrón.
Agregue su intento en su pregunta para eliminar los votos negativos.

culver kwan · Answer 1

culver kwan

Puedes pensar que el problema comienza con el $10$ y sigue los números en orden hasta llegar a $1$ .

Entonces hay dos caminos para cada paso: hacia arriba o hacia la izquierda. Entonces hay $2^{10-1}=2^9=512$ maneras. ¡Hecho!

usuario3347814

Sé que la respuesta es correcta. Pero no puedo darle un sentido intuitivo. ¿Hay alguna otra forma de resolver este problema?

Jyrki Lahtonen

@ user3347814 Otra forma es observar que si comienza desde el "1" en

n

$n$ th piso (

n = 0

$n=0$ en la planta baja), entonces necesitas

9

$9$ pasos para llegar

10

$10$ . De esos nueve pasos,

n

$n$ bajará, y eres libre de elegir cuándo bajar, por lo que hay un total de

(\binom{9}{n})

$\binom 9n$ caminos a partir de ese particular

1

$1$ . Por lo tanto, el número total de caminos es

\sum_{norte = 0}^{9} (\binom{9}{norte}) = (1 + 1)^{9} = 2^{9}

$\sum_{n=0}^9\binom 9n=(1+1)^9=2^9$ por la fórmula binomial. Francamente, creo que deberíamos ver la respuesta de Culver Kwan como una prueba elegante de la fórmula binomial en este caso. Realmente no consideraría ningún otro argumento digno de presentación.

Jyrki Lahtonen

Y si el argumento principal

(\binom{9}{n})

$\binom 9n$ no está claro, echa un vistazo a esto . Es la misma idea.

tonyk

@user3347814: Esta respuesta es la forma de pensar sobre el problema: vuelva sobre sus pasos desde el

10

$10$ volver a un

1

$1$ . ¡No encontrarás una solución más fácil!

Steven Alexis Gregorio · Answer 2

Cada cuadrado muestra el número de caminos (legales) a ese cuadrado.

Entonces, el número de caminos posibles hacia el cuadrado inferior derecho es 512.

Esto podría ser más concreto señalando que el número de formas de llegar a cualquier cuadrado es la suma del número de formas de llegar a los cuadrados de arriba ya la izquierda de ese cuadrado.

¿De cuántas maneras puedo pasar del 1 al 10 en el siguiente diagrama?

usuario3347814

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culver kwan

Respuestas (2)

culver kwan

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Jyrki Lahtonen

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tonyk

Steven Alexis Gregorio

Bernardo Barker

Pregunta de prueba de suma binomial/combinatoria

Demostrando una identidad interesante con sumas parciales de filas de triángulos de Pascal

¿Hay alguna identidad de poder que no pertenezca a esta lista?

Cómo probar que (nr)(nr)n \choose r = n+1−rrn+1−rr\frac{n+1-r}{r} (nr−1)(nr−1)n \choose r -1 sin usar la expansión factorial de (nr)(nr)n \choose r? [cerrado]

Demuestra que ∑k=0r(n+kk)=(n+r+1r)∑k=0r(n+kk)=(n+r+1r)\sum\limits_{k=0}^r\binom{ n+k}k=\binom{n+r+1}r usando argumentos combinatorios. [duplicar]

Personas sentadas alrededor de mesas triangulares

Demostrando la identidad del coeficiente binomial usando la función generadora

Demostrar que ∑n−rk=0(r+kr)=(n+1r+1)∑k=0n−r(r+kr)=(n+1r+1)\sum_{k=0}^{nr } \binom{r+k}{r} = \binom{n+1}{r+1}

Contar caminos a través de un tablero de damas (solo moviéndose en diagonal)

Identidad combinatoria al elevar al cuadrado la expansión binomial