¿Pequeño abuso de notación en la definición de atlas?

Estoy leyendo el libro Análisis II de Amann y Escher. Dijo en la página 252 más o menos, como en el artículo de wikipedia, que si$\{\varphi_\alpha:\alpha\in\mathrm A\}$es un atlas de un$m$-subvariedad dimensional de$\Bbb R^n$, a saber$M$, y si$U_\alpha$es el dominio de la carta$\varphi_\alpha$entonces$\color{red}{M=\bigcup_{\alpha\in\mathrm A}U_\alpha}$.

Al mismo tiempo se dice que$\varphi_\alpha(U_\alpha)=:V_\alpha\in\Bbb R^m$debe estar abierto, y también que$\varphi_\alpha$es un homeomorfismo. Esto implicaría que$U_\alpha$son conjuntos abiertos en$\Bbb R^n$.

Después de que se dijo que si$M$es compacto en$\Bbb R^n$entonces, de acuerdo con lo anterior,$M$tener un atlas finito. Pero entonces no veo cómo es posible que la igualdad en rojo pueda ser verdadera, porque la unión arbitraria de conjuntos abiertos es abierta.

¿Esto es una especie de abuso de notación o estoy pasando por alto algo? Gracias.