Comprensión de la notación del parámetro de longitud de arco

He estado luchando con la noción del parámetro de longitud de arco y me preguntaba si esto se debía a las notaciones. En varios libros de texto a menudo veo que esto ocurre. Una curva regular$\sigma:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}^n$que no se parametriza en función de la longitud del arco y por tanto toma como variable$t$o más bien tiene dominio sobre$[a,b]$la reparametrización de$\sigma$es entonces$\sigma \circ s^{-1}$dónde$s(t)= \int_{a}^{t}\lVert \sigma' (x)\rVert \,dx$entonces$s:[a,b]\rightarrow[0,L(\sigma)]$. Por lo que entiendo una función que está evaluando el parámetro$s$tiene dominio sobre$[0,L(\sigma)]$. Pero entonces aparece la expresión de la forma$\sigma(s(t))$que generalmente no tienen sentido Ejemplo:

Mi sospecha es que hay un abuso en la notación donde la reparametrización de$\sigma$solo se escribe como$\sigma$Es este el caso. Además, si este es el caso, ¿hay alguna razón detrás de este uso de la notación?