Pegado de los extremos de un cilindro. ¿Podemos obtener algo más que un toro?

Considere las orientaciones en los círculos.$S^1 \times 0$y$S^1 \times 1$procedente de una elección de orientación sobre$S^1$. Si el mapa de encolado$f : S^1 \times 1 \to S^1 \times 0$conserva la orientación, el cociente es homeomorfo a un toro. Si no, es homeomorfo a una botella de Klein. La prueba requiere que uno sepa que dos auto-homeomorfismos de$S^1$son isotópicos si ambos conservan la orientación o si ambos invierten la orientación. El homeomorfismo entre los espacios cocientes de$S^1 \times [0,1]$luego puede construirse "absorbiendo" la isotopía en la estructura del producto en$S^1 \times [0,1]$.