Partición de cuerda de polígono regular: ¿misma fracción de área y perímetro?

Respuesta parcial: no hay un buen acorde para el cuadrado (con cualquier proporción diferente de$\frac{1}{2}$).

Prueba: Suponga que conectamos dos puntos en lados opuestos. Entonces obtenemos un trapezoide. Denote las bases por$x,y$. Entonces$a(c)= \frac{x+y}{2}$y$p(c)=\frac{x+y+1}{4}$, cuyos rendimientos$x+y=1$, y por lo tanto$a(c)=p(c)=\frac{1}{2}$.

Si los dos puntos están en lados adyacentes, entonces obtenemos un triángulo rectángulo. Dejar$x,y$denote las piernas esta vez. Entonces$a(c)=\frac{xy}{2}$y$p(c)=\frac{x+y}{4}$, cuyos rendimientos$(x-\frac{1}{2})(y-\frac{1}{2})=\frac{1}{4}$. Como$0\leq x,y\leq 1$, tenemos$|x-\frac{1}{2}|\leq \frac{1}{2}$y$|y-\frac{1}{2}|\leq \frac{1}{2}$, de este modo$(x-\frac{1}{2})(y-\frac{1}{2})=\frac{1}{4}$solo es posible si$|x-\frac{1}{2}|=|y-\frac{1}{2}|=\frac{1}{2}$. Por lo tanto, o el triángulo es degenerado (un punto), o$x=y=1$, en ese caso$a(c)=p(c)=\frac{1}{2}$de nuevo.

El hecho de que necesitáramos argumentos muy diferentes en los dos casos sugiere que la pregunta general podría ser difícil de manejar.