¿Cuál es la medida del radio del círculo inscrito en el triángulo ATB?

Primera nota que$\triangle ATB$es triángulo rectángulo con$\angle ATB = 90^\circ$.

Soltar a un delincuente de$P$a$BQ$. Entonces,$AB = PD = 2 \sqrt2$(como$PQ = 3, QD = 1$).

A continuación, suelte un delincuente de$B$a$PQ$. Entonces,$\displaystyle \triangle QBH \sim \triangle QPD \implies QH = \frac{2}{3}, BH = \frac{4 \sqrt2}{3}$

$\displaystyle TH = TQ - HQ = \frac43$

$\displaystyle BT = \sqrt{TH^2 + BH^2} = \frac{4}{\sqrt3}$

Ahora, para un triángulo rectángulo, inradius es$\displaystyle \frac{a + b - c}{2} ~, ~$dónde$c$es hipotenusa y$a$y$b$son lados perpendiculares.

Así que en el radio de$\displaystyle \triangle BTH = \frac{2 (\sqrt2 + 1 - \sqrt3)}{3}$

Como$\triangle BTH \sim \triangle BAT, ~$dentro del radio de$\triangle BAT$,

$\displaystyle r = \sqrt{\frac32} \cdot \frac{2 (\sqrt2 + 1 - \sqrt3)}{3} = \frac{2 + \sqrt2 - \sqrt6}{\sqrt3}$

Tenga en cuenta que$\small CF=FB=GE=DA=1$.

De triángulos semejantes,$\small TG=\dfrac13CF=\dfrac13$.

Por lo tanto$\small TE=\dfrac43$.

Del teorema de Pitágoras a$\small\triangle DCF$,$\small DF=2\sqrt2=AB$.

Por lo tanto$\small AE=\dfrac{2\sqrt2}3$y$\small BE=\dfrac{4\sqrt2}3$.

Ahora de nuevo del teorema de Pitágoras a$\small \triangle ATE$y$\small\triangle BTE$, encontramos$\small AT=\dfrac{2\sqrt6}3$y$\small BT=\dfrac{4\sqrt3}3$.

Usando la fórmula para el radio interior de un triángulo rectángulo ⁽¹⁾ ,

$$\displaystyle r=\frac12\left(\frac{2\sqrt6}3+\frac{4\sqrt3}3-2\sqrt2\right)=\frac13(\sqrt6+2\sqrt3-3\sqrt2)$$

$\triangle AO_1T: \triangle BO_2T\rightarrow \text{isosceles}$ $\triangle ATB(\text{right})\\\angle O_1AT = x \implies \angle ABT = x\\AO_1T = 180-2x$

Por la ley de los cosenos,$AT^2=2+2\cos(2x)=2(1+\cos(2x))=4\cos^2(x)$

$BT^2=4+4-8\cos(2x)=8(1-\cos(2x))=16\sin^2(x)$

del triangulo$\triangle ABT$,

$\displaystyle \tan^2(x)=\frac{AB^2}{BT^2}=\frac{\cos^2(x)}{4\sin^2(x)} \implies \tan^4(x)=\frac{1}{4} \implies \tan(x)=\frac{1}{\sqrt{2}}$

Por lo tanto$\cos(x)=\frac{\sqrt{6}}{3}$y$\sin(x)=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

$AT^2=4\cdot\dfrac{6}{9}=\dfrac{8}{3} \rightarrow AT=\dfrac{2\sqrt{6}}{3}\\BT^2=16\sin^2(x)=16\cdot\dfrac{1}{3} \rightarrow BT=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\\AB^2=\dfrac{8}{3}+\dfrac{16}{3}=8 \rightarrow AB=2\sqrt{2}$

Pero,$\displaystyle A=pr \rightarrow r=\frac{A}{p}\\\displaystyle \therefore r=\frac{\frac{2\sqrt{6}}{3}.\frac{4\sqrt{3}}{3}}{\frac{2\sqrt{6}}{3}+\frac{4\sqrt{3}}{3}+2\sqrt{2}}= 0.5569$